Isolierte Singularitäten < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:02 Do 10.01.2008 | | Autor: | ebarni |
| Aufgabe | Bestimmen Sie bei folgenden Funktionen sämtliche isolierten Singularitäten und deren Art
[mm] z \in \IC [/mm]
[mm] (i) \ \ \ f(z)=\bruch{1 - cos z}{sin z} [/mm]
[mm] (ii) \ \ \ g(z)=\bruch{sin z - z}{(e^{z} - 1)^{3}} [/mm]
[mm] (iii) \ \ \ h(z)=exp(\bruch{1}{z^{3}}) [/mm] |
Hallo zusammen, gesucht sind sämtliche isolierten Singularitäten der obigen Funktionen und deren Art.
Da dieses Thema ziemlich neu für mich ist, fehlt mir dazu ein wenig der Ansatz.
Ich weiß, dass es hebbare Singularitäten, Polstellen und wesentliche Singularitäten gibt (also werder Polstellen noch hebbare Singularitäten).
Aufgabe (ii) sieht mir nach Polstelle 3. Ordnung aus.
Wie aber gehe ich prinzipiell an diese Aufgaben heran um herauszufinden, um welche Sinsgularitäten es sich handelt und wie ich sie herausfinde?
Für eure Mühe sage ich schon mal im Voraus vielen dank.
Viele Grüße, Andreas
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Ich würde die Reihenentwicklung von sin, cos und exp einsetzen. Dann hast du Polynome, kannst eventuell noch kürzen und dann den Grad direkt ablesen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:53 Fr 11.01.2008 | | Autor: | Zneques |
Hallo,
Es geht darum, verrauszufinden welchen Grad ein Polynom z.B. [mm] (z-z_0)^n [/mm] haben muss um die Polstelle zu beseitigen.
Bei [mm] \bruch{1}{z} [/mm] würde man mit z multiplizieren und [mm] \bruch{z}{z} [/mm] erhalten.
D.h. z=0 ist immernoch nicht definiert, jedoch konvergieren alle Folgen [mm] \not= [/mm] 0 gegen 1, dem Wert der diese Funktion an der Stelle stetig fortsetzen würde.
Ciao.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:52 Fr 11.01.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo Andreas!
> Bestimmen Sie bei folgenden Funktionen sämtliche isolierten
> Singularitäten und deren Art
>
> [mm]z \in \IC[/mm]
>
> [mm](i) \ \ \ f(z)=\bruch{1 - cos z}{sin z}[/mm]
>
> [mm](ii) \ \ \ g(z)=\bruch{sin z - z}{(e^{z} - 1)^{3}}[/mm]
>
> [mm](iii) \ \ \ h(z)=exp(\bruch{1}{z^{3}})[/mm]
> Hallo zusammen,
> gesucht sind sämtliche isolierten Singularitäten der obigen
> Funktionen und deren Art.
>
> Da dieses Thema ziemlich neu für mich ist, fehlt mir dazu
> ein wenig der Ansatz.
>
> Ich weiß, dass es hebbare Singularitäten, Polstellen und
> wesentliche Singularitäten gibt (also werder Polstellen
> noch hebbare Singularitäten).
>
> Aufgabe (ii) sieht mir nach Polstelle 3. Ordnung aus.
>
> Wie aber gehe ich prinzipiell an diese Aufgaben heran um
> herauszufinden, um welche Sinsgularitäten es sich handelt
> und wie ich sie herausfinde?
Was meine Vorredner schrieben, ist richtig, nur ein bischen knapp.
Teilaufgaben (i) und (ii) funktionieren nach dem gleichen Prinzip: du schaust dir das Verhalten von Zähler und Nenner getrennt an.
Dazu hilft folgende Betrachtung:
Eine holomorphe Funktion [mm]f(z)[/mm] hat eine Nullstelle n-ter Ordnung in [mm]z=z_0[/mm], wenn sie sich in der Nähe von [mm]z_0[/mm] schreiben lässt als
[mm] f(z) = (z-z_0)^n*g(z)[/mm], [mm]g(z_0)\not=0 [/mm], [mm]n\in\IN[/mm].
wenn sich also die Nullstelle "herausdividieren" lässt:
[mm] g(z) = \bruch{f(z)}{(z-z_0)^n} [/mm].
Insbesondere fängt die Taylorentwicklung von f(z) um [mm]z_0[/mm] mit dem Term [mm](z-z_0)^n[/mm] an.
Wenn eine Funktion [mm]f(z)[/mm] einen Pol n-ter Ordnung in [mm]z=z_0[/mm] hat, so lässt sie sich in der Nähe von [mm]z_0[/mm] schreiben als
[mm] f(z) = \bruch{1}{(z-z_0)^{n}} g(z)[/mm], [mm]g(z_0)\not=0 [/mm], [mm]n\in\IN[/mm].
Beides kann man zusammenfassen: wenn sich [mm]f(z)[/mm] schreiben lässt als
[mm] f(z) = (z-z_0)^n*g(z)[/mm], [mm]g(z_0)\not=0 [/mm], [mm]n\in\IZ\backslash\{0\}[/mm],
Wenn wir nun den Quotienten zweier solcher Funktionen betrachten:
[mm] f_1(z) = (z-z_0)^{n_1}*g_1(z)[/mm], [mm] f_2(z) = (z-z_0)^{n_2}*g_2(z)[/mm],
so ist
[mm] \bruch{f_1(z)}{f_2(z)} = (z-z_0)^{n_1-n_2} \bruch{g_1(z)}{g_2(z)}[/mm]
und damit hat [mm] \bruch{f_1(z)}{f_2(z)} [/mm] einen Pol Ordnung [mm]n_2-n_1[/mm], wenn [mm]n_1n_2[/mm] sogar eine Nullstelle der Ordnung [mm]n_1-n_2[/mm].
In den beiden Teilaufgaben haben sowohl Zähler als auch Nenner keine Polstellen, sondern Nullstellen.
Zum Beispiel hat in der ersten Aufgabe der Zähler die Taylorentwicklung
[mm]1-\cos z = 1 - \summe_{n=0}^\infty (-1)^n\bruch{z^{2n}}{(2n)!} = - \summe_{n=1}^\infty (-1)^n\bruch{z^{2n}}{(2n)!} [/mm],
also eine Nullstelle 2. Ordnung.
Analog hat der Nenner
[mm] \sin z = \summe_{n=0}^\infty (-1)^n\bruch{z^{2n+1}}{(2n+1)!} [/mm],
also eine Nullstelle 1. Ordnung, woraus du folgerst, das der Bruch im z=0 eine hebbare Singularität hat, der Wert des Bruches kann dort durch 0 ersetzt werden.
Analog ergibt sich bei der (ii) eine hebbare Singularität mit Funktionswert [mm]-\bruch{1}{6}[/mm].
Bei der Teilaufgabe (iii) solltest du die Reihe der Exponentialfunktion einsetzen:
[mm] \exp(z^{-3}) = \summe_{n=0}^\infty \bruch{1}{n!z^{3n}} [/mm].
Wie viele Terme hat der Hauptteil der Laurententwicklung?
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:51 So 13.01.2008 | | Autor: | ebarni |
Hallo Rainer, vielen Dank für Deine ausführlichen Ausführungen.
>
> Bei der Teilaufgabe (iii) solltest du die Reihe der
> Exponentialfunktion einsetzen:
>
> [mm]\exp(z^{-3}) = \summe_{n=0}^\infty \bruch{1}{n!z^{3n}} [/mm].
>
> Wie viele Terme hat der Hauptteil der Laurententwicklung?
>
> Viele Grüße
> Rainer
Hier kann man doch folgendermaßen weiterentwickeln:
> [mm]\exp(z^{-3}) = \summe_{n=-\infty}^0 \bruch{1}{(-n)!}*z^{3n}} [/mm]
Es liegt also für z=0 weder eine hebbare Singularität noch eine Polstelle vor.
Es muss sich also um eine wesentliche Singularität handeln.
Ist das Richtig?
Viele Grüße, Andreas
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:18 So 13.01.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo Andreas!
> Hier kann man doch folgendermaßen weiterentwickeln:
>
> > [mm]\exp(z^{-3}) = \summe_{n=-\infty}^0 \bruch{1}{(-n)!}*z^{3n}}[/mm]
>
> Es liegt also für z=0 weder eine hebbare Singularität noch
> eine Polstelle vor.
>
> Es muss sich also um eine wesentliche Singularität
> handeln.
>
> Ist das Richtig?
Ja, es gibt eine Laurententwicklung mit unendlichem Hauptteil, daher ist es eine wesentliche Singularität.
Es die einzige Singularität, die die Exponentialfunktion (und davon abgeleitete Funktionen wie sinh) hat.
Viele Grüße
Rainer
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hi,
wieso hat der zähler der ersten funktion eine nullstelle zweiter ordnung und der zähler der zweiten funktion einen erster ordnung? woran seh ich das in der formel?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:07 Di 01.06.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
Bitte fang einen neuen Thread an: Forenregel
> wieso hat der zähler der ersten funktion eine nullstelle
> zweiter ordnung
Schau dir den ersten Term der Taylorentwicklung an!
> und der zähler der zweiten funktion einen
> erster ordnung?
Du meinst den Nenner der ersten Funktion. Der Zähler der zweiten Funktion ist [mm] $\sin [/mm] z -z $ und hat eine Nullstelle 3. Ordnung.
Viele Grüße
Rainer
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:02 Di 01.06.2010 | | Autor: | fred97 |
Ergänzend zu Rainer:
Ist D [mm] \subseteq \IC, [/mm] D offen, $f:D [mm] \to \IC$ [/mm] holomorph, [mm] z_0 \in [/mm] D und m [mm] \in \IN, [/mm] so gilt:
f hat in [mm] z_0 [/mm] eine Nullstelle der Ordnung m [mm] \gdw $f(z_0)=f'(z_o) [/mm] = ...= [mm] f^{(m-1)}(z_0)=0$ [/mm] und [mm] f^{(m)}(z_0)\ne [/mm] 0
FRED
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hi,
schonmal danke!
also sehe ich bei der taylorentwicklung die nullstellenordnung am grad des exponenten des ersten glieds?
und weil rainer schreibt, dass $sin z - z$ eine Nullstelle 3. Ordnung hat:
die entwicklung ist doch
[mm] $(\sum_{n=0}^{\inf}\frac{(-1)^n}{(2n+1)!}z^{2n+1}) [/mm] - z$
ist es dann so, dass das erste glied wegfällt wegen dem -z, und dann beim nächste glied (n=1) der exponent von z drei ist, weswegen es eine nullstelle dritter ordnung hat?
kann man etwas über den wert aussagen, für den die funktion null wird?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:14 Di 01.06.2010 | | Autor: | fred97 |
> hi,
> schonmal danke!
> also sehe ich bei der taylorentwicklung die
> nullstellenordnung am grad des exponenten des ersten
> glieds?
>
> und weil rainer schreibt, dass [mm]sin z - z[/mm] eine Nullstelle 3.
> Ordnung hat:
> die entwicklung ist doch
> [mm](\sum_{n=0}^{\inf}\frac{(-1)^n}{(2n+1)!}z^{2n+1}) - z[/mm]
>
> ist es dann so, dass das erste glied wegfällt wegen dem
> -z, und dann beim nächste glied (n=1) der exponent von z
> drei ist, weswegen es eine nullstelle dritter ordnung hat?
Ja
FRED
> kann man etwas über den wert aussagen, für den die
> funktion null wird?
?????????????????????
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