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| Aufgabe | Sei [mm] \phi: \IR^3 \to \IR^3 [/mm] eine Isometrie des euiklidischen Standartraums [mm] \IR^3, [/mm] für die [mm] det(\phi)=-1 [/mm] gilt. Weiter gelten:
[mm] \phi(\vektor{1 \\ 1 \\ 1})=\vektor{-1 \\ -1 \\ -1} [/mm] sowie
[mm] \phi(\vektor{1 \\ 2 \\ 0})=\vektor{0 \\ -1 \\ -2}
[/mm]
a) Geben sie eine Orthonormalbasis B von [mm] \IR^3 [/mm] an, sodass die Abbildungsmatrix von [mm] \phi [/mm] Isometrienormalform ist.
b) Geben sie die Abbildungsmatrix an. |
Hallo,
mein Ansatz hier wäre:
[mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 1} [/mm] ist Eigenvektor zum Eigenwert [mm] -1=\lambda.
[/mm]
Weiter ist [mm] cos(\alpha)=\bruch{<\vektor{1 \\ 2 \\ 0},\vektor{0 \\ -1 \\ -2}>}{||\vektor{0 \\ -1 \\ -2}||*||\vektor{1 \\ 2 \\ 0}||}=-\bruch{2}{5}
[/mm]
Dann: [mm] cos(\alpha)=\lambda/2, [/mm] also [mm] \lambda=-\bruch{4}{5}
[/mm]
und [mm] sin(\alpha)=\wurzel{1-\bruch{\lambda^2}{4}}=\bruch{\wurzel{21}}{5}
[/mm]
Dann sollte die Darstellungsmatrix doch
[mm] \pmat{-1 & 0 & 0 \\ 0 & -\bruch{2}{5} & -\bruch{\wurzel{21}}{5} \\ 0 & \bruch{\wurzel{21}}{5} & -\bruch{2}{5}} [/mm] sein.
Die Lösung schaut aber ganz anders aus, die machen das nämlich so:
Der Vektor [mm] v_1 [/mm] = [mm] \vektor{ 1 \\ 1 \\ 1} [/mm] ist Eigenvektor zum EW -1. Der eindimensionale Untervektorraum [mm] [/mm] ist somit [mm] \phi [/mm] invariant, sein orthogonales Komplement [mm] ^\perp [/mm] ebenso. Da [mm] \phi [/mm] Determinante -1 hat, muss seine EInschränkung auf [mm] ^\perp [/mm] Determinante 1 haben, also eine Drehung sein. (Bis hier her ist alles logisch für mich). Es reicht also, [mm] v_1 [/mm] zu einer orthogonalen Basis zu ergänzen und diese dann zu normieren, um eine Basis B zu erhalten, bezüglich der die Darstellungsmatrix von [mm] \phi [/mm] in Isometrienormalform steht.
[mm] v_1 [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 1}, v_2=\vektor{0 \\ 1 \\ -1} [/mm] und [mm] v_3=\vektor{-2 \\ 1 \\ 1}
[/mm]
bilden eine orthogonale Basis. Die normierte Version ist dann eine Orthonormalbasis:
[mm] b_1=\bruch{1}{\wurzel{3}}*v_1, b_2 [/mm] = [mm] \bruch{1}{\wurzel{2}}*v_2, b_3=\bruch{1}{\wurzel{6}}*v_3
[/mm]
b) Wir nutzen die Linearität von [mm] \phi [/mm] aus:
[mm] \vektor{0 \\ -1 \\ -2}=\phi(\vektor{1\\2\\0})=\phi(\vektor{0\\1\\-1})+\phi(vektor{1\\1\\1})= \phi(\vektor{0\\1\\-1})-\vektor{1\\1\\1}, [/mm] also:
[mm] \phi(\vektor{0\\1\\-1})=\vektor{0\\-1\\-2}+\vektor{1\\1\\1}=\vektor{1\\0\\-1}
[/mm]
Aus Teil a) haben wir gelernt, dass gilt [mm] \phi(b_2)=\bruch{1}{\wurzel{2}}\vektor{1\\0\\-1} \in . [/mm] Da [mm] b_2,b_3 [/mm] orthogonal und normiert sind, gilt [mm] \red{\phi(b_2)= b_2^T*\phi(b_2)*b_2+b_3^T*\phi(b_2)*b_3=0.5b_2-\bruch{\wurzel{3}}{2}b_3} [/mm] <--(das verstehe ich nicht.)
Da nach a) die Abbildungsmatrix in Isometrienormalform vorliegt, sieht sie wie folgt aus:
[mm] \pmat{-1 & 0 & 0 \\ 0 & 0.5 & \bruch{\wurzel{3}}{2} \\ 0 & -\bruch{\wurzel{3}}{2} & 0.5}
[/mm]
Ich verstehe bis auf den roten Teil, was hier gemacht wird, aber ich verstehe trotzdem nicht, warum meine Version falsch ist. Außerdem geht das doch nur so schön auf, wenn ich die Basisvektoren genau so wähle, wie sie hier gewählt wurden, oder?
Kann mir jemand helfen? Vielen Dank!
Edit by Mod. Marcel: Ich habe Dir den roten Teil sichtbar gemacht. Innerhalb
von Formeln musst Du [mm] [nomm]$\red{}$[/nomm] [/mm] benutzen!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:20 Fr 26.09.2014 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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