matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenLineare Algebra SonstigesIsometrie
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Deutsch • Englisch • Französisch • Latein • Spanisch • Russisch • Griechisch
Forum "Lineare Algebra Sonstiges" - Isometrie
Isometrie < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Lineare Algebra Sonstiges"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Isometrie: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:17 Sa 25.04.2015
Autor: zahlenfreund

Aufgabe
Sei <-,-> das Standardskalarprodukt auf [mm] \IR^{n} [/mm] \ {0}. Betrachten sie die Abbildung  [mm] s_{a}: \IR^{n}\to \IR^{n} [/mm]
[mm] v\to s_{a}(v)=v-2*a*/ [/mm] und überlegen Sie sich zunächst, was passiert, wenn man für v den Vektor a
und einen zu a orthogonalen Vektor einsetzt. Zeigen Sie:
(i) [mm] s_{a} [/mm] ist eine Isometrie
(ii) Bestimmen Sie fur alle λ ∈ R die Dimension des Eigenraums V (λ) zu λ.
(iii) Bestimmen Sie die Determinante [mm] det(s_{a}). [/mm]
Was ist für n = 3 die geometrische Bedeutung der Abbildung [mm] s_{a}? [/mm]

Hallo zusammen,

[mm] s_{a}(a)=-a [/mm] und für v orthogonal zu a ist [mm] s_{a}(v)=v. [/mm]

i) hab ich schon gezeigt
ii) sei B eine orthogonale Basis mit den vektoren B={ [mm] s_{1},..., s_{n-1}, [/mm] a }.
    [mm] s_{1},..., s_{n-1} [/mm] sind orthogonal zu a.
Als nächstes bilde ich die Darstellungsmatrix bezüglich der Basis
[mm] s_{a}(a)=-a [/mm]
[mm] s_{a}(a)=-1*a+0*s_{1}+..+0*s_{n-1} [/mm]
[mm] s_{a}(s_{1})=s_{1} [/mm]
[mm] s_{a}(s_{1})=0*a+1*s_{1}+...+0*s_{n-1} [/mm]

Meine Darstellungsmatrix [mm] A=\begin{bmatrix} -1 & \cdots & 0 \\ \vdots & 1 \dots & \vdots \\ 0 & \cdots & 1 \end{bmatrix} [/mm]

Wenn λ ein Eigenwert ist der Eigenraum [mm] \begin{bmatrix} -1- λ & \cdots & 0 \\ \vdots & 1-λ \dots & \vdots \\ 0 & \cdots & 1-λ \end{bmatrix} [/mm]  ( Auf der Diagonale soll -λ stehen)
Muss ich die Dimension des Eigenraums in Abhängigkeit von λ bestimmen ?
Ist es bis hier hin richtig ?

iii) Die Determinante ist das Produkt der Skalare auf der Diagonalen der Matrix A also gleich -1.

mfg zahlenfreund


        
Bezug
Isometrie: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:42 Sa 25.04.2015
Autor: hippias


> Sei <-,-> das Standardskalarprodukt auf [mm]\IR^{n}[/mm] \ {0}.
> Betrachten sie die Abbildung  [mm]s_{a}: \IR^{n}\to \IR^{n}[/mm]
>  
> [mm]v\to s_{a}(v)=v-2*a*/[/mm] und überlegen Sie sich
> zunächst, was passiert, wenn man für v den Vektor a
>  und einen zu a orthogonalen Vektor einsetzt. Zeigen Sie:
>  (i) [mm]s_{a}[/mm] ist eine Isometrie
>  (ii) Bestimmen Sie fur alle λ ∈ R die Dimension des
> Eigenraums V (λ) zu λ.
>  (iii) Bestimmen Sie die Determinante [mm]det(s_{a}).[/mm]
>  Was ist für n = 3 die geometrische Bedeutung der
> Abbildung [mm]s_{a}?[/mm]
>  Hallo zusammen,
>  
> [mm]s_{a}(a)=-a[/mm] und für v orthogonal zu a ist [mm]s_{a}(v)=v.[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)


>  
> i) hab ich schon gezeigt
>  ii) sei B eine orthogonale Basis naler Basis

Mir ist nicht ganz klar, was Du hier mit orthogonaler Basis meinst. Aber vermutlich hat es keine Bedeutung fuer den Beweis.

> mit den vektoren B={
> [mm]s_{1},..., s_{n-1},[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

a }.

>      [mm]s_{1},..., s_{n-1}[/mm] sind orthogonal zu a.

Man koennte etwas ausfuehren, weshab es so eine spezielle Basis ueberhaupt gibt.

> Als nächstes bilde ich die Darstellungsmatrix bezüglich
> der Basis
>  [mm]s_{a}(a)=-a[/mm]
> [mm]s_{a}(a)=-1*a+0*s_{1}+..+0*s_{n-1}[/mm]
>  [mm]s_{a}(s_{1})=s_{1}[/mm]
> [mm]s_{a}(s_{1})=0*a+1*s_{1}+...+0*s_{n-1}[/mm]
>  
> Meine Darstellungsmatrix [mm]A=\begin{bmatrix} -1 & \cdots & 0 \\ \vdots & 1 \dots & \vdots \\ 0 & \cdots & 1 \end{bmatrix}[/mm]
>  
> Wenn λ ein Eigenwert ist der Eigenraum [mm]\begin{bmatrix} -1- λ & \cdots & 0 \\ \vdots & 1-λ \dots & \vdots \\ 0 & \cdots & 1-λ \end{bmatrix}[/mm]
>  ( Auf der Diagonale soll -λ stehen)
>  Muss ich die Dimension des Eigenraums in Abhängigkeit von
> λ bestimmen ?

Ja.

>  Ist es bis hier hin richtig ?

Ja. Das Zeichen [mm] $\lambda$ [/mm] gibst Du als \ lambda ein.

>  
> iii) Die Determinante ist das Produkt der Skalare auf der
> Diagonalen der Matrix A also gleich -1.

Richtig.  

> mfg zahlenfreund
>  

Ich haette noch ein Frage: Ist bei euch ein Skalarprodukt tatsaechlich auf [mm] $\IR^{n}\backslash\{0\}$ [/mm] definiert? Oder meinst Du, dass [mm] $a\neq [/mm] 0$ ist?

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Lineare Algebra Sonstiges"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.matheraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]