matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenUni-Lineare AlgebraIsometrie
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Geschichte • Erdkunde • Sozialwissenschaften • Politik/Wirtschaft
Forum "Uni-Lineare Algebra" - Isometrie
Isometrie < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Uni-Lineare Algebra"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Isometrie: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 00:52 So 30.05.2004
Autor: Cathrine

Hallo im Matheraum,

ich habe bei folgender Aufgabe irgendwie Verständnisproblem...:

Man bestimme K= [mm] F_2 [/mm]
"bis auf Isometrie" (Was soll das denn heißen???) alle [mm] (V,\beta) [/mm], für die [mm]\beta[/mm] bilinear, (ich glaube, hier kommt ein Komma, oder gibt es bilinear-syymetrisch??) symmetrisch und [mm] (V,\beta) [/mm] zweidimensional und regulär (nicht ausgeartet???) ist.

Ich verstehe nicht, wie diese Aufgabe gemeint ist, obwohl ich schon die Def. von Isometrie nach geschaut habe. Vor allem das "bis auf Isometrie" verstehe ich nicht. Weiß vielleicht jemand wie das gemeint ist.

Vielen vielen Dank schon mal, Cathrine

        
Bezug
Isometrie: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:29 So 30.05.2004
Autor: Cathrine

Ich weiß nicht, ob ich jetzt auf dem Holzweg bin:

Die Dimension von V muss doch wegen [mm] F_2 [/mm] (ist doch das mit den Modulotafeln, oder??? 0,0,1,0 etc?)

dim (V) = 2 sein, nicht wahr???

Und auf [mm]\beta[/mm] beziehen sich dann die Eigenschaften wie bilinear, symmetrisch und schließlich auf [mm] (V,\beta) [/mm] das regulär, welches man sicher wieder mit der Ausgeartetheit vergleichen kann. Steht so ähnlich in meinem Skript, nur, dass sich ausgeartetheit eben auf V bezieht und regulär auf [mm] \beta, [/mm] richtig???

Weiterhin müsste die Sache mit dem metrischen Homomorphismus noch erfüllt sein. Und K-VR muss ein ISomorphismus sein (wgn ISometrie?)...

Und nach Bemerkungen im Skript sind [mm] (V,\beta) [/mm] genau dann regulär, wenn ein metrischer Homomorphismus injektiv ist.

Ich könnte das ja jetzt in "REchenform" bringen und hätte dann zumindest einen Anfang, oder liege ich total falsch???

Ich wünsche euch im übrigen allen schöne Pfingsten, eure Cathy

Bezug
        
Bezug
Isometrie: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 01:47 Mo 31.05.2004
Autor: Stefan

Liebe Cathrine!

> ich habe bei folgender Aufgabe irgendwie
> Verständnisproblem...:
>  
> Man bestimme [mm] $\IK= \IF_2$ [/mm]

Du meinst:"Man bestimme für den Körper [mm] $\IK=\IF_2$..." [/mm]

>  "bis auf Isometrie" (Was soll das denn heißen???) alle
> [mm](V,\beta) [/mm], für die [mm]\beta[/mm] bilinear, (ich glaube, hier kommt
> ein Komma, oder gibt es bilinear-syymetrisch??) symmetrisch
> und [mm](V,\beta)[/mm] zweidimensional und regulär (nicht
> ausgeartet???) ist.
>  
> Ich verstehe nicht, wie diese Aufgabe gemeint ist, obwohl
> ich schon die Def. von Isometrie nach geschaut habe. Vor
> allem das "bis auf Isometrie" verstehe ich nicht. Weiß
> vielleicht jemand wie das gemeint ist.

Zwei Räume $(V,s)$ und [mm] $(\tilde{V},\tilde{s})$ [/mm] heißen isometrisch, wenn es einen Isomorphismus $F:V [mm] \to \tilde{V}$ [/mm] gibt mit

$s(v,v') = [mm] \tilde{s}(F(v),F(v'))$ [/mm]

für alle [mm] $v,\, [/mm] v' [mm] \in [/mm] V$.

Das heißt also: Man kann sich in jeder Isometrieklasse auf die Angabe eines Repräsentanten konzentrieren und muss nicht auch noch alle dazu isometrischen Vektorräume aufzählen (das wäre auch schwierig, denn es sind natürlich i.A. unendlich viele).

Da wir nur bis auf Isometrie zweidimensionale Vektorräume über [mm] ${\IF}_2$ [/mm] mit symmetrischer, regulärer Bilinearform suchen, genügt es den [mm] ${\IF}_2^2$ [/mm] zu betrachten. Die Bilinearformen dort sind aber eineindeutig durch die darstellende Gramsche Matrix gegeben.

Gesucht sind also alle symmetrischen Matrizen aus [mm] $GL(2,{\IF}_2)$. [/mm]

Dies sind aber gerade (ich hoffe ich habe keine vergessen):

[mm] $A_1 [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$, [/mm]
[mm] $A_2 [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$, [/mm]
[mm] $A_3 [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$, [/mm]
[mm] $A_4 [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$, [/mm]

mit den zugehörigen vier Bilinearformen:

[mm] $s_i(x,y) [/mm] = [mm] x^T A_i [/mm] y$     ($x,y [mm] \in \IF_2^2$, [/mm] $i=1,2,3,4$)

Liebe Grüße
Stefan


Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Uni-Lineare Algebra"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.matheraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]