Isometrie < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:15 Mi 08.06.2005 | | Autor: | wee |
Hallo,
Ich habe Probleme mit fogender Aufgabe:
Sei (v, < , >) ein eukidischer [mm] \IR [/mm] VR und f: V [mm] \to [/mm] V lineare Abb. Für alle x,y [mm] \in [/mm] V mit <v,y>=0 gelte <f(v),f(y)>=0. Zeige, dass es eine Isometrie g: [mm] V\to [/mm] V und ein [mm] \alpha \in \IR [/mm] mit [mm] f=\alpha [/mm] *g exsistiert.
Meine Idee: Sei [mm] v_{1}, [/mm] ... , [mm] v_{n} [/mm] eine ONB von V (dim V:=n). [mm] \Rightarrow [/mm] =0 [mm] \Rightarrow [/mm] =0. Jetzt ist aber doch f schon eine Isometrie also ist g=f und [mm] \alpha [/mm] = 1, oder mache ich es mir hier zu einfach?
Bitte Komentare und Verbesserungsideen.
Meinen Dank im voraus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:34 Mi 08.06.2005 | | Autor: | R4ph43l |
> Hallo,
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> Ich habe Probleme mit fogender Aufgabe:
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> Sei (v, < , >) ein eukidischer [mm]\IR[/mm] VR und f: V [mm]\to[/mm] V
> lineare Abb. Für alle x,y [mm]\in[/mm] V mit <v,y>=0 gelte
> <f(v),f(y)>=0. Zeige, dass es eine Isometrie g: [mm]V\to[/mm] V und
> ein [mm]\alpha \in \IR[/mm] mit [mm]f=\alpha[/mm] *g exsistiert.
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> Meine Idee: Sei [mm]v_{1},[/mm] ... , [mm]v_{n}[/mm] eine ONB von V (dim
> V:=n). [mm]\Rightarrow [/mm] =0 [mm]\Rightarrow [/mm]
> =0. Jetzt ist aber doch f schon eine Isometrie
Nein, es ist lediglich gesagt dass f linear ist. Isometrie bedeutet ja, dass die Metrik des Raumes unter der Abbildung beibehalten wird, sprich [mm] d_1(f(x),f(y)) [/mm] = [mm] d_2(x,y) [/mm] für alle x,y, wobei [mm] d_1 [/mm] nun die Metrik f(V) und [mm] d_2 [/mm] die Metrik in V.
Da das Std.Skp. <,> erstmal noch keine Metrik definiert, gilt es diese zu finden. Als erstes würde ich da die euklidische Norm versuchen [mm] \wurzel[2]{} [/mm] = ||x|| und die dadurch implizierte Metrik d(x,y) = ||x-y||
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