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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:15 Sa 27.06.2009 | | Autor: | Sharik |
| Aufgabe | | Bestimme die Elemente endlicher Ordnung von Isom(X), wobei X die affine euklidische Ebene ist. |
Ein Element g einer Gruppe G hat endliche Ordnung, wenn es ein n [mm] \in \IN [/mm] gibt mit [mm] g^n [/mm] = e , e ist neutrales Element in G.
Isom(X) ist die Menge der Isometrien [mm] \varphi: [/mm] X [mm] \to [/mm] X
Eine Isometrie [mm] \varphi \in [/mm] Isom(X) ist entweder
- Identität
- Translation
- Drehung
- Spiegelung
- Gleitspiegelung
Hm, mir fehlt irgendwie die Idee hier...
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:26 Sa 27.06.2009 | | Autor: | Sharik |
Könnte man nicht über die Eigenwerte zeigen:
wenn [mm] n\in\IN [/mm] gibt mit [mm] A^2=E [/mm] , so ist [mm] \lambda^2 [/mm] =1 für alle Eigenwerte [mm] \lambda [/mm] von der Matrix A?
dann wäre für die Identität z.B.
det(E - [mm] \lambda [/mm] E)= [mm] (1-\lambda)^2 [/mm]
[mm] \Rightarrow \lambda=1
[/mm]
[mm] \Rightarrow \lambda^2=1
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] Identität ist ein Element aus Isom(X)
wenn das der richtige Weg ist, dann sind auch die Translation und die Spiegelung in Isom(X) aber bei der Gleitspiegelung komme ich nicht weiter...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:47 So 28.06.2009 | | Autor: | Merle23 |
Du kannst schon über Eigenwerte gehen, aber dazu müssen zwei Vorraussetzungen erfüllt sein:
Deine Abbildung muss linear sein, denn sonst sind "Eigenwerte" nicht definiert.
Translationen sind z.B. im Allgemeinen nicht linear.
Und zweitens muss dann die darstellende Matrix diagonalisierbar sein.
Im Endeffekt läuft es darauf hinaus, dass du jede der Arten durchgehen musst und dir jeweils anschaust, ob die Vor. erfüllt sind, und wenn ja, dann dir die Eigenwerte anschaust.
Also kannste auch gleich anders argumentieren im jedem der einzelnen Fälle, so wie SEcki es vorgeschlagen hat.
> [mm] \Rightarrow [/mm] Identität ist ein Element aus Isom(X)
Das kannst du auch einfacher haben: [mm]{id}^1 = {id}[/mm], somit ist die Identität ein Element endlicher Ordnung in Isom(X), nämlich von der Ordnung 1.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:36 So 28.06.2009 | | Autor: | SEcki |
> Isom(X) ist die Menge der Isometrien [mm]\varphi:[/mm] X [mm]\to[/mm] X
>
> Eine Isometrie [mm]\varphi \in[/mm] Isom(X) ist entweder
> - Identität
> - Translation
> - Drehung
> - Spiegelung
> - Gleitspiegelung
>
> Hm, mir fehlt irgendwie die Idee hier...
Probiere die doch mal durch; Identität ist es sicher, Translation nie (iterieire mal Translationen - man kommt nie zurück!) und Spiegelungen immer (deren Quadrat ist wieder id - warum?). Bei Drehungen kommt es drauf an - ist der Drehwinkel rational? Wie oft muss ich dann drehen, damit es wieder die Identität ist? Was bei irrationalem Winkel? Bei Gleitspiegelung - das ist doch eine Drehung gefolgt von einer Translation? Das wird schwieriger - wie habt ihr denn die genau definiert?
SEcki
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:13 So 28.06.2009 | | Autor: | Sharik |
Hm, ich dachte, ich könnte den Weg über die Eigenwerte gehen (wie in dem 2. Beitrag dargestellt), aber anscheinend funktioniert es nicht, oder?
Wie soll ich die dann durchprobieren?
Gleitspiegelung ist die Hintereinanderausführung einer Drehung und einer Translation.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:40 So 28.06.2009 | | Autor: | SEcki |
> Hm, ich dachte, ich könnte den Weg über die Eigenwerte
> gehen (wie in dem 2. Beitrag dargestellt), aber anscheinend
> funktioniert es nicht, oder?
Nein, die Drehungen müssen ja keine reellen EW haben.
> Wie soll ich die dann durchprobieren?
> Gleitspiegelung ist die Hintereinanderausführung einer
> Drehung und einer Translation.
Und wie habt ihr die definiert? Du hantierst ja auch mit EWen - ist eine Gleitspiegelung also eine Abbildung [m]x\mapsto A*x+b[/m] mit entsprechneder Matrix A, Vektor b? Für Gleitspiegelungen die endliche Ordnung haben gilt also [m]A^n*x+A^{n-1}*b+\ldots +b=x[/m], also ist A eine Drehung um rationalen Winkel / Spiegelung - nun muss man noch [m] A^{n-1}*b+\ldots +b=0[/m] untersuchen. Gibt es Matrizen A und Vektoren b, für die so eine Relation gilt? Oder ist es einfach eine weitere Bedingung? Seh ich gerad nicht, aber denk mal drüber nach.
SEcki
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