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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:38 So 06.11.2011 | | Autor: | Hikari |
| Aufgabe | Wir betrachten die Menge [mm] \IR^n [/mm] der n-Tupel reeler Zahlen mit der euklidschen Länge:
[mm] \parallel (x_{1},x_{2},...,x_{n} \parallel [/mm] := [mm] \wurzel{x_{1}^2+...+x_{n}^2}
[/mm]
Eine Abbildung f: [mm] \IR^n ->\IR^n [/mm] heißt längenerhaltend oder auch Isometrie, falls:
[mm] \parallel [/mm] f(x) -f(y) [mm] \parallel [/mm] = [mm] \parallel [/mm] x-y [mm] \parallel
[/mm]
für alle x,y [mm] \in \IR^n
[/mm]
a) Geben Sie mindestens 3Isometrien an. |
Ja..Ich muss zugeben ich habe keine Ahnung, wie ich an die Aufgabe rangehen soll.Soll ich mir irgendeine Funktion nehmen und gucken ob die Bedingung klappt oder formt man vorher ein bisschen was um, damit man erkennt, welche Bedingunen es erfüllen muss (und die offensichtlcih sind).
Außerdem weiß ich nicht so ganz was mit der oberen Angabe mit der euklidschen Menge anzufangen. Muss jetzt mein x auch ein n-Tupel sein weil wir uns in [mm] \IR^n [/mm] befinden? Aber wie rechne ich das dann aus in eienr Abbildung?
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moin Hikari,
Nimm hier einfach mal die Definition.
Dann soll gelten:
[mm] $(x_1 [/mm] - [mm] y_1)^2 [/mm] + [mm] (x-2-y_2)^2 [/mm] + [mm] \cdots [/mm] = [mm] (f(x_1) [/mm] - [mm] f(y_1) )^2 [/mm] + [mm] \cdots$
[/mm]
Natürlich rein formal auf beiden Seiten noch die Wurzel, aber das würde ja zum Glück nix an der Gleichheit ändern.
Wie könnte nun eine solche Funktion aussehen, damit das gilt?
Oder anders: Was kannst du mit deinen Funktionswerten x und y machen, was beim Quadrieren wieder wegfällt?
Mir fallen da so spontan zwei schöne Abbildungen ein und wenn du ein wenig überlegst findest du sicher auch welche.
Also halte dich nicht zu lange am [mm] $\IR^n$ [/mm] auf sondern überleg dir einfach: Was kannst du machen, was beim Quadrieren untern Tisch fällt?
Und über die Begriffe wie "euklidische Länge" brauchst du dir nicht so viele Sorgen zu machen.
Du ordnest einfach jedem Vektor aus dem [mm] $\IR^n$ [/mm] einen anderen aus dem [mm] $\IR^n$ [/mm] zu; fertig ist eine Abbildung.
lg
Schadow
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:25 So 06.11.2011 | | Autor: | Hikari |
woher genau kommt jetzt in der zweiten klammer das x-2?
hm und zum wegfallen würden mir Betragsstrich einfallen, da der Ausdruck ja eh positiv würde durch das quadrieren oder?
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Hmm, das $x-2$ soll ein [mm] $x_2$ [/mm] sein.^^
Der Betrag dürfte dir ein paar Probleme bereiten, denn bedenke es muss auch für $x-y$ gelten.
Also es könnte passieren, dass $x-y [mm] \not= [/mm] 0$ aber $|x| - |y| = 0$, damit bekommst du dann Probleme...
Aber der Ansatz war schonmal gut.
Überleg dir nochmal, wie du mit reellen Zahlen hinkriegst, dass [mm] $(x-y)^2 [/mm] = (f(x) - [mm] f(y))^2$.
[/mm]
Das dann auf Vektoren aus dem [mm] $\IR^n$ [/mm] hochzuschrauben wird nicht ganz so schwer. ;)
Als Tipp: Eine Möglichkeit wäre die Identität, also $f(x) = x$.
Es gibt noch eine zweite, die sehr ähnlich ist; und eine dritte kriegst du sicher auch noch hin.
lg
Schadow
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