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Isometrietyp bestimmen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:23 Fr 05.02.2016
Autor: Joker08

Aufgabe
Folgende Aufgabe:

Sei [mm] \Delta_{ABC} [/mm] das Dreieck in der euklidischen Ebene X und [mm] \sigma_1, \sigma_2, \sigma_3 [/mm] die affinen Spieglungen an der Geraden [mm] \mathfrak{H}_1:=<\{A,B\}>, \mathfrak{H}_2:=<\{B,C\}>, \mathfrak{H}_3:=<\{A,C\}>. [/mm]

Bestimmen sie den Typ und die Fixpunktmente folgender Isometrien:

a) [mm] \sigma_2\circ \sigma_1 [/mm]
b) [mm] \sigma_3\circ \sigma_2 \circ \sigma_1 [/mm]

[Hinweis: Nehmen sie bei b) an, es wäre eine Spieglung. Wie müssten dann die Spiegelgraden aussehen?]






Also ich habe mir folgendes überlegt.

a) Es gilt [mm] det(\sigma_2\circ \sigma_1)=det(\sigma_2)\cdot [/mm] det [mm] (\sigma_1)=1 [/mm]
[mm] \Rightarrow \sigma_2\circ \sigma_1 [/mm] ist Drehung, Identität oder Translation.

Wegen [mm] \mathfrak{H_1}\cap \mathfrak{H_2}=\{B\} [/mm]
[mm] \Right \sigma_2\circ \sigma_1(B)=\sigma_2(\sigma_1(B))=\sigma_2(B)=B [/mm]
[mm] \Rightarrow Fix(\sigma_2\circ \sigma_1)=\{B\} [/mm]
[mm] \Rightarrow \sigma_2\circ \sigma_1 [/mm] ist Drehung.

b) Hier könnte ich doch theor. genauso Argumentieren.

[mm] det(\sigma_3\circ\sigma_2\circ \sigma_1)=-1 [/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] Spieglung oder Gleitspieglung.

Wegen [mm] \mathfrak{H_1}\cap \mathfrak{H_2}\cap \mathfrak{H_3}=\emptyset [/mm]
[mm] \Rightarrow Fix(\sigma_3\circ\sigma_2\circ \sigma_1)=\emptyset [/mm]
[mm] \Rightarrow \sigma_3\circ\sigma_2\circ \sigma_1 [/mm] ist Gleitspielung.

Da irrtiert mich allerdings der Hinweis, dass man annehmen soll es wäre eine Spieglung.

Man könnte evtl. auch mithilfe der Kollinearität von [mm] A,B,C\in [/mm] X argumentieren.

Mir fiel nur folgendes noch ein bei dem ich mir nicht ganz so sicher bin:

Also angenommen [mm] \sigma_3\circ\sigma_2\circ \sigma_1 [/mm] ist spieglung.

Dann ist nach a) [mm] \sigma_2\circ \sigma_1(B)=\sigma_2(\sigma_1(B))=\sigma_2(B)=B [/mm]
[mm] \Rightarrow \mathfrak{H} [/mm] ist Bisektor zwischen [mm] \sigma_3(B) [/mm] und B
[mm] \Rightarrow \mathfrak{H}=<\{A,C\}> [/mm]
[mm] \Rightarrow Fix(\sigma_3\circ\sigma_2\circ \sigma_1)=\mathfrak{H} [/mm]

Im Widerspruch zu [mm] \mathfrak{H_1}\cap\mathfrak{H_2}\cap \mathfrak{H_3} [/mm] = [mm] \emptyset. [/mm]
Aber das wäre ja in etwa das gleiche wie oben.

Ist das so okay?
Gibt es noch alternativen die ich übersehen habe?

Mfg. Der Joker

        
Bezug
Isometrietyp bestimmen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:54 Sa 06.02.2016
Autor: hippias


> Folgende Aufgabe:
>  
> Sei [mm]\Delta_{ABC}[/mm] das Dreieck in der euklidischen Ebene X
> und [mm]\sigma_1, \sigma_2, \sigma_3[/mm] die affinen Spieglungen an
> der Geraden [mm]\mathfrak{H}_1:=<\{A,B\}>, \mathfrak{H}_2:=<\{B,C\}>, \mathfrak{H}_3:=<\{A,C\}>.[/mm]
>  
> Bestimmen sie den Typ und die Fixpunktmente folgender
> Isometrien:
>  
> a) [mm]\sigma_2\circ \sigma_1[/mm]
>  b) [mm]\sigma_3\circ \sigma_2 \circ \sigma_1[/mm]
>
> [Hinweis: Nehmen sie bei b) an, es wäre eine Spieglung.
> Wie müssten dann die Spiegelgraden aussehen?]
>  
>
>
>
>
> Also ich habe mir folgendes überlegt.
>  
> a) Es gilt [mm]det(\sigma_2\circ \sigma_1)=det(\sigma_2)\cdot[/mm]
> det [mm](\sigma_1)=1[/mm]
>  [mm]\Rightarrow \sigma_2\circ \sigma_1[/mm] ist Drehung, Identität
> oder Translation.

O.K.

>  
> Wegen [mm]\mathfrak{H_1}\cap \mathfrak{H_2}=\{B\}[/mm]
> [mm]\Right \sigma_2\circ \sigma_1(B)=\sigma_2(\sigma_1(B))=\sigma_2(B)=B[/mm]

O.K.

>  
> [mm]\Rightarrow Fix(\sigma_2\circ \sigma_1)=\{B\}[/mm]
>  [mm]\Rightarrow \sigma_2\circ \sigma_1[/mm]
> ist Drehung.

Achtung: Du hast nur bewiesen, dass [mm] $B\in Fix(\sigma_2\circ \sigma_1)$. [/mm] Wieso gibt es tatsächlich keine weiteren Fixpunkte?

>  
> b) Hier könnte ich doch theor. genauso Argumentieren.
>  
> [mm]det(\sigma_3\circ\sigma_2\circ \sigma_1)=-1[/mm]
>  [mm]\Rightarrow[/mm]
> Spieglung oder Gleitspieglung.

O.K.

>  
> Wegen [mm]\mathfrak{H_1}\cap \mathfrak{H_2}\cap \mathfrak{H_3}=\emptyset[/mm]

O.K.

>  
> [mm]\Rightarrow Fix(\sigma_3\circ\sigma_2\circ \sigma_1)=\emptyset[/mm]
>  

Diesen Schluss sehe ich nicht ein. Wieso kann es keinen Fixpubkt der verketteten Funktion geben, der nicht auf den Hyperebenen [mm] $\mathfrak{H_i}$ [/mm] liegt?

> [mm]\Rightarrow \sigma_3\circ\sigma_2\circ \sigma_1[/mm] ist
> Gleitspielung.
>  
> Da irrtiert mich allerdings der Hinweis, dass man annehmen
> soll es wäre eine Spieglung.
>  
> Man könnte evtl. auch mithilfe der Kollinearität von
> [mm]A,B,C\in[/mm] X argumentieren.

Das halte für sicherer; s.o.

>  
> Mir fiel nur folgendes noch ein bei dem ich mir nicht ganz
> so sicher bin:
>
> Also angenommen [mm]\sigma_3\circ\sigma_2\circ \sigma_1[/mm] ist
> spieglung.
>  
> Dann ist nach a) [mm]\sigma_2\circ \sigma_1(B)=\sigma_2(\sigma_1(B))=\sigma_2(B)=B[/mm]

O.K.

>  
> [mm]\Rightarrow \mathfrak{H}[/mm] ist Bisektor zwischen [mm]\sigma_3(B)[/mm]
> und B

Was ist hier [mm] $\mathfrak{H}$? [/mm] Wurde dieses Objekt schon eingeführt oder ist das eine Definition?

>  [mm]\Rightarrow \mathfrak{H}=<\{A,C\}>[/mm]
>  [mm]\Rightarrow Fix(\sigma_3\circ\sigma_2\circ \sigma_1)=\mathfrak{H}[/mm]
>  
> Im Widerspruch zu [mm]\mathfrak{H_1}\cap\mathfrak{H_2}\cap \mathfrak{H_3}[/mm]
> = [mm]\emptyset.[/mm]

Diesen Schluss verstehe ich nicht. Aber ich kenne mich mit dem Thema auch nicht gut aus.

Meine Überlegung, aufbauend auf Deinen bisherigen Ergebnissen, ginge etwa so: Ich setze [mm] $\tau:= \sigma_3\circ\sigma_2\circ \sigma_1$. [/mm] Du hast nachgerechnet, dass [mm] $\tau(B)= \sigma_{3}(B)$ ($\neq [/mm] B$; wieso?) gilt. Man hat also zwei Spiegelungen der Ebene, die auf einem Nichtfixpunkt übereinstimmen. Lässt sich daraus nicht vielleicht schlussfolgern, dass ihre Spiegelachsen parallel sein müssen und daraus einen Widerspruch ableiten?

>  Aber das wäre ja in etwa das gleiche wie oben.
>  
> Ist das so okay?
>  Gibt es noch alternativen die ich übersehen habe?
>  
> Mfg. Der Joker  


Bezug
                
Bezug
Isometrietyp bestimmen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:38 Sa 06.02.2016
Autor: Joker08


> >  

> > [mm]\Rightarrow Fix(\sigma_2\circ \sigma_1)=\{B\}[/mm]
>  >  
> [mm]\Rightarrow \sigma_2\circ \sigma_1[/mm]
> > ist Drehung.
>  Achtung: Du hast nur bewiesen, dass [mm]B\in Fix(\sigma_2\circ \sigma_1)[/mm].
> Wieso gibt es tatsächlich keine weiteren Fixpunkte?

Mh stimmt da hab ich so garnicht drüber nachgedacht. Ich habe versucht einen Widerspruch zu konstruieren, allerdings gelingt mir das bisweilen nicht.

Sei [mm] $D\in [/mm] X$ mit [mm] $\sigma_2\circ\sigma_1(D)=D$. [/mm]

Wenn ich die Definition einer Affinen Spieglung anwenden würde, müsste halt gelten

[mm] $\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{B\sigma_2\circ\sigma_1(D)}$ [/mm]

Das bringt mich allerdings nicht weiter.
Dann wüsste ich noch, dass der Fixpunkt eindeutig ist wenn 1 kein EW der linearisierung ist.
Dazu fällt mir aber auch keine wirkliche begründung.
___________________________________________________________

Das einzige was mir noch eingefallen ist, wäre die Identität auszuschließen:
Angenommen [mm] $\varphi:=\sigma_2\circ\sigma_1$ [/mm]  wäre Identität, dann müsste [mm] $\varphi(D)=D\, \forall D\in [/mm] X$ gelten.

Also auch [mm] $\varphi(A)=\sigma_2\circ\sigma_1 [/mm] (A) = [mm] \sigma_2(A) [/mm] = A$.

[mm] $\Rightarrow A\in <\{B,C\}> [/mm] $
[mm] $\Rightarrow \overrightarrow{BC}=\lambda\cdot \overrightarrow{AC}$. [/mm]

Im Widerspruch zur kollinearität.

Also ist [mm] $\varphi \not= [/mm] id$.

Ich hätte es aber lieber allgemeiner gemacht.


  

> > [mm]\Rightarrow \mathfrak{H}[/mm] ist Bisektor zwischen [mm]\sigma_3(B)[/mm]
> > und B
>  Was ist hier [mm]\mathfrak{H}[/mm]? Wurde dieses Objekt schon
> eingeführt oder ist das eine Definition?

Mit [mm] $\mathfrak{H}$ [/mm] haben wir immer die affine Hyperebene bezeichnet an der gespiegelt wird.

> >  [mm]\Rightarrow \mathfrak{H}=<\{A,C\}>[/mm]

>  >  [mm]\Rightarrow Fix(\sigma_3\circ\sigma_2\circ \sigma_1)=\mathfrak{H}[/mm]
>  
> >  

> > Im Widerspruch zu [mm]\mathfrak{H_1}\cap\mathfrak{H_2}\cap \mathfrak{H_3}[/mm]
> > = [mm]\emptyset.[/mm]
>  Diesen Schluss verstehe ich nicht. Aber ich kenne mich mit
> dem Thema auch nicht gut aus.

Mh im nachhinein bin ich mir auch nicht mehr ganz sicher.
Ich dachte mir, dass wenn der Pkt. an [mm] \mathfrak{H_3} [/mm] gespiegelt wird (weil z.B. B fixpkt ist),
dann müsste die Spiegelebene ja grade der bisektor zwischen bild und urbild sein.

> Meine Überlegung, aufbauend auf Deinen bisherigen
> Ergebnissen, ginge etwa so: Ich setze [mm]\tau:= \sigma_3\circ\sigma_2\circ \sigma_1[/mm].
> Du hast nachgerechnet, dass [mm]\tau(B)= \sigma_{3}(B)[/mm] ([mm]\neq B[/mm];
> wieso?) gilt.

Ja, wäre [mm] $\sigma_{3}(B)=B$, [/mm] dann müsste ja [mm] $B\in [/mm] <A,C>$ liegen
[mm] $\Rightarrow \overrightarrow{AC}=\lambda\cdot \overrightarrow{AB}$. [/mm]

>Man hat also zwei Spiegelungen der Ebene, die

> auf einem Nichtfixpunkt übereinstimmen.

Mh das verstehe ich grade nicht so ganz.
Ist damit  [mm] $\tau(B)=\sigma_3(B)$ [/mm] gemeint?

>Lässt sich daraus

> nicht vielleicht schlussfolgern, dass ihre Spiegelachsen
> parallel sein müssen und daraus einen Widerspruch
> ableiten?

]Für [mm] $A\in [/mm] X$ muss dann gelten:

[mm] $\overrightarrow{A\tau(B)}=\overrightarrow{A\sigma_3(B)}\, \forall B\in [/mm] X.$

[mm] $\Rightarrow V_{\tau(B)}=V_{\sigma_3(B)} [/mm] $

[mm] $\Rightarrow V_{\tau(B)}\parallel V_{\sigma_3(B)} [/mm] $

[mm] $\Rightarrow [/mm] [...]$



Bezug
                        
Bezug
Isometrietyp bestimmen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:20 So 07.02.2016
Autor: hippias


> > >  

> > > [mm]\Rightarrow Fix(\sigma_2\circ \sigma_1)=\{B\}[/mm]
>  >  >  
> > [mm]\Rightarrow \sigma_2\circ \sigma_1[/mm]
> > > ist Drehung.
>  >  Achtung: Du hast nur bewiesen, dass [mm]B\in Fix(\sigma_2\circ \sigma_1)[/mm].
> > Wieso gibt es tatsächlich keine weiteren Fixpunkte?
>  
> Mh stimmt da hab ich so garnicht drüber nachgedacht. Ich
> habe versucht einen Widerspruch zu konstruieren, allerdings
> gelingt mir das bisweilen nicht.
>
> Sei [mm]D\in X[/mm] mit [mm]\sigma_2\circ\sigma_1(D)=D[/mm].
>  
> Wenn ich die Definition einer Affinen Spieglung anwenden
> würde, müsste halt gelten
>  
> [mm]\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{B\sigma_2\circ\sigma_1(D)}[/mm]
>  
> Das bringt mich allerdings nicht weiter.
>  Dann wüsste ich noch, dass der Fixpunkt eindeutig ist
> wenn 1 kein EW der linearisierung ist.
>  Dazu fällt mir aber auch keine wirkliche begründung.
>  
> ___________________________________________________________
>  
> Das einzige was mir noch eingefallen ist, wäre die
> Identität auszuschließen:
>  Angenommen [mm]\varphi:=\sigma_2\circ\sigma_1[/mm]  wäre
> Identität, dann müsste [mm]\varphi(D)=D\, \forall D\in X[/mm]
> gelten.
>  
> Also auch [mm]\varphi(A)=\sigma_2\circ\sigma_1 (A) = \sigma_2(A) = A[/mm].
>  
> [mm]\Rightarrow A\in <\{B,C\}>[/mm]
>  [mm]\Rightarrow \overrightarrow{BC}=\lambda\cdot \overrightarrow{AC}[/mm].
>  
> Im Widerspruch zur kollinearität.
>  
> Also ist [mm]\varphi \not= id[/mm].
>  
> Ich hätte es aber lieber allgemeiner gemacht.

Das ist doch schon ausreichend: Du weisst ja, dass es für [mm] $\varphi$ [/mm] nur die Möglichkeiten Drehung, Identität und Translation gibt. Der Fall Identität scheidet aus und weil wir wissen, dass [mm] $\varphi$ [/mm] einen Fixpunkt hat ...

>  
>
>
> > > [mm]\Rightarrow \mathfrak{H}[/mm] ist Bisektor zwischen [mm]\sigma_3(B)[/mm]
> > > und B
>  >  Was ist hier [mm]\mathfrak{H}[/mm]? Wurde dieses Objekt schon
> > eingeführt oder ist das eine Definition?
>  
> Mit [mm]\mathfrak{H}[/mm] haben wir immer die affine Hyperebene
> bezeichnet an der gespiegelt wird.

O.K. Genau so ein Ding brauchen wir.

In der alten Bezeichnung ist [mm] $\sigma_{3}(B)= \tau(B)$ [/mm] und $B$ ist kein Fixpunkt der beiden Spiegelungen. Folglich haben beide Spiegelungen den gleichen Bisektor=Spiegelebene (bei dieser Überlegung lasse ich mich von meiner Anschauung leiten; eventuell müsste dies noch beweisen werden; im schlimmsten Fall ist es sogar falsch). Dann wäre aber [mm] $\tau= \sigma_{3}$ [/mm] . Leite daraus einen Widerspruch her.

>  
> > >  [mm]\Rightarrow \mathfrak{H}=<\{A,C\}>[/mm]

>  >  >  [mm]\Rightarrow Fix(\sigma_3\circ\sigma_2\circ \sigma_1)=\mathfrak{H}[/mm]
>  
> >  

> > >  

> > > Im Widerspruch zu [mm]\mathfrak{H_1}\cap\mathfrak{H_2}\cap \mathfrak{H_3}[/mm]
> > > = [mm]\emptyset.[/mm]
>  >  Diesen Schluss verstehe ich nicht. Aber ich kenne mich
> mit
> > dem Thema auch nicht gut aus.
>  
> Mh im nachhinein bin ich mir auch nicht mehr ganz sicher.
> Ich dachte mir, dass wenn der Pkt. an [mm]\mathfrak{H_3}[/mm]
> gespiegelt wird (weil z.B. B fixpkt ist),
> dann müsste die Spiegelebene ja grade der bisektor
> zwischen bild und urbild sein.
>  
> > Meine Überlegung, aufbauend auf Deinen bisherigen
> > Ergebnissen, ginge etwa so: Ich setze [mm]\tau:= \sigma_3\circ\sigma_2\circ \sigma_1[/mm].
> > Du hast nachgerechnet, dass [mm]\tau(B)= \sigma_{3}(B)[/mm] ([mm]\neq B[/mm];
> > wieso?) gilt.
>  
> Ja, wäre [mm]\sigma_{3}(B)=B[/mm], dann müsste ja [mm]B\in [/mm]
> liegen
>  [mm]\Rightarrow \overrightarrow{AC}=\lambda\cdot \overrightarrow{AB}[/mm].

Richtig.

>  
> >Man hat also zwei Spiegelungen der Ebene, die
> > auf einem Nichtfixpunkt übereinstimmen.
>
> Mh das verstehe ich grade nicht so ganz.
>  Ist damit  [mm]\tau(B)=\sigma_3(B)[/mm] gemeint?

Ja.

>  
> >Lässt sich daraus
> > nicht vielleicht schlussfolgern, dass ihre Spiegelachsen
> > parallel sein müssen und daraus einen Widerspruch
> > ableiten?
>  
> ]Für [mm]A\in X[/mm] muss dann gelten:
>  
> [mm]\overrightarrow{A\tau(B)}=\overrightarrow{A\sigma_3(B)}\, \forall B\in X.[/mm]
>  
> [mm]\Rightarrow V_{\tau(B)}=V_{\sigma_3(B)}[/mm]
>  
> [mm]\Rightarrow V_{\tau(B)}\parallel V_{\sigma_3(B)}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow [...][/mm]
>

S.o.

>  


Bezug
                                
Bezug
Isometrietyp bestimmen: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 21:05 Mi 10.02.2016
Autor: Joker08


>  
> >  

> >
> >
> > > > [mm]\Rightarrow \mathfrak{H}[/mm] ist Bisektor zwischen [mm]\sigma_3(B)[/mm]
> > > > und B
>  >  >  Was ist hier [mm]\mathfrak{H}[/mm]? Wurde dieses Objekt schon
> > > eingeführt oder ist das eine Definition?
>  >  
> > Mit [mm]\mathfrak{H}[/mm] haben wir immer die affine Hyperebene
> > bezeichnet an der gespiegelt wird.
>  O.K. Genau so ein Ding brauchen wir.
>  
> In der alten Bezeichnung ist [mm]\sigma_{3}(B)= \tau(B)[/mm] und [mm]B[/mm]
> ist kein Fixpunkt der beiden Spiegelungen. Folglich haben
> beide Spiegelungen den gleichen Bisektor=Spiegelebene (bei
> dieser Überlegung lasse ich mich von meiner Anschauung
> leiten; eventuell müsste dies noch beweisen werden; im
> schlimmsten Fall ist es sogar falsch). Dann wäre aber
> [mm]\tau= \sigma_{3}[/mm] . Leite daraus einen Widerspruch her.

Okay, also ich fasse die Gedanken nochmal etwas zusammen:
[mm] $\tau:=\sigma_3\circ\sigma_2 \circ\sigma_1$ [/mm]

Es gilt:

[mm] $\tau(B)=\sigma_3(B)$ [/mm]
[mm] $\Rightarrow \mathfrak{H_3}$ [/mm] ist Spiegelgrade von [mm] $\tau$ [/mm]
[mm] $\Rightarrow Fix(\tau)=\mathfrak{H_3}$, [/mm] im Widerspruch zu [mm] $\mathfrak{H_1}\cap \mathfrak{H_2}\cap\mathfrak{H_3}=\emptyset$. [/mm]

Anmerkung: Die Annahme stimmt. Wir haben in einer Übungsaufgabe bereits gezegt, dass für X affiner Raum und [mm] A,B\in [/mm] X gilt: Sind [mm] A\not=B, [/mm] dann existiert eine eindeutig bestimmte affine Hyperebene [mm] \mathfrak{H} [/mm] mit [mm] \sigma_{\mathfrak{H}}(A)=B, [/mm] wobei [mm] \sigma_{H} [/mm] die affine Spieglung an [mm] \mathfrak{H} [/mm] ist.

Mit freundlichen Grüßen,
der Joker

Bezug
                                        
Bezug
Isometrietyp bestimmen: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:20 Fr 12.02.2016
Autor: matux

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