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Forum "Lineare Algebra - Moduln und Vektorräume" - Isomorph
Isomorph < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Isomorph: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 03:04 Mi 29.03.2017
Autor: James90

Hi, ich habe eine Frage und würde mich über eine Antwort sehr freuen!

Seien V,W endlichdimensionale Vektorräume. Sind die Vektorräume [mm] $R_{\le 42}[/mm] [t][mm] \setminus\IR_{\le 17}[/mm] [t]$ und [mm] $\IR^2\times\IR_{\le 22}[/mm] [t]$ isomorph?

Laut Lösung soll die Aussage stimmen.

Also ist zu zeigen, dass eine bijektive Abbildung zwischen den Vektorräumen existiert. Laut meinem Skript ist das äquivalent dazu, das die Dimension der Vektorräume gleich ist. Leider kann ich das nicht begründen. Ich hätte eher erwartet, dass [mm] dim(R_{\le 42}[/mm] [t][mm] \setminus\IR_{\le 17}[/mm] [t])=42-17=25 und [mm] dim(\IR^2\times\IR_{\le 22}[/mm] [t])=2+22=24 gilt. Damit wären die Dimensionen der Vektorräume nicht gleich, also gäbe es keine bijektive Abbildung zwischen den Vektorräumen und somit wären die Vektorräume auch nicht isomorph.

Wo ist mein Fehler?

        
Bezug
Isomorph: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:11 Mi 29.03.2017
Autor: fred97

1. Ist n [mm] \in \IN, [/mm] so ist die Dimension von [mm] R_{\le n}[/mm] [t]=n+1  und nicht =n

2.  [mm] R_{\le 42}[/mm] [t] [mm] \setminus R_{\le 17}[/mm] [t] ist kein Vektorraum !

Ist z.B [mm] p(t)=t^{42} [/mm] und [mm] q(t)=-t^{42}^+t^{17}, [/mm] so gilt p,q [mm] \in R_{\le 42}[/mm] [t] [mm] \setminus R_{\le 17}[/mm] [t] , aber p+q [mm] \notin R_{\le 42}[/mm] [t] [mm] \setminus R_{\le 17}[/mm] [t] .

Ich vermute , dass der Faktorraum  [mm] R_{\le 42}[/mm] [t] /  [mm] R_{\le 17}[/mm] [t]  gemeint ist.


So, nun fang nochmal von vorne an.



Bezug
                
Bezug
Isomorph: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:41 Mi 29.03.2017
Autor: James90

Ich bin nun etwas durcheinander. Erst ist [mm] \IR_{\le 42}[/mm] [t][mm] \setminus\IR_{\le 17}[/mm] [t]  kein Vektorraum, dann ist [mm] \IR_{\le 42}[/mm] [t][mm] \setminus\IR_{\le 17}[/mm] [t] ein Faktorraum. Ist nicht jeder Faktorraum ein Vektorraum?

Ist meine Idee nicht zielführend?

[mm] \IR_{\le 42}[/mm] [t][mm] \setminus\IR_{\le 17}[/mm] [t]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)


=\{[x]_{\IR_{\le 17}[t]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

}:x\in\IR_{\le 42}[t]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

\}
=\{y\in\IR_{\le 42}[t][mm] :(x,y)\in\IR_{\le 17}[/mm] [t][mm] ,x\in\IR_{\le 42}[/mm] [t]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

\}

Dabei ist IR_{\le 17}[t] eine Äquivalenzrelation auf [mm] \IR_{\le 42}[/mm] [t]

Was geht es weiter?

Danke!!

Bezug
                        
Bezug
Isomorph: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 06:33 Do 30.03.2017
Autor: angela.h.b.


> Ich bin nun etwas durcheinander.
> Erst ist [mm]\IR_{\le 42}[/mm]  [t][mm]\setminus\IR_{\le 17}[/mm] [t]kein Vektorraum,
> dann ist [mm]\IR_{\le 42}[/mm] [t][mm]\setminus\IR_{\le 17}[/mm] [t]ein Faktorraum.

Hallo,

es ist  [mm]\IR_{\le 42}[/mm] [t][mm]\setminus\IR_{\le 17}[/mm] [t],
also [mm] \IR_{\le 42}[/mm] [t] ohne [mm] \IR_{\le 17}[/mm] [t],
kein Vektorraum, denn das Nullpolynom ist ja gar nicht drin.

Jedoch ist der Faktorraum  [mm]\IR_{\le 42}[/mm] [t][mm]/\IR_{\le 17}[/mm] [t] ein Vektorraum.

(Beachte die Richtungen der Schrägstriche!)

Zu den Dimensionen hat Dir Fred schon das nötige gesagt:
[mm] dim\IR_{\le n}[/mm] [t]=n+1.

Damit sollte dann alles passen.

LG Angela

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Bezug
Isomorph: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 07:39 Do 30.03.2017
Autor: James90

Okay, danke!

Also ist [mm] $dim(\IR^2\times \IR_{\le 22})=dim(\IR^2)+dim(\IR_{\le 22})=2+23=25$. [/mm]

Wie begründet man [mm] $dim(\IR_{\le 42}[/mm] [t][mm] /\IR_{\le 17}[/mm] [t])=25$?

Bezug
                                        
Bezug
Isomorph: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:58 Do 30.03.2017
Autor: fred97


> Okay, danke!
>  
> Also ist [mm]dim(\IR^2\times \IR_{\le 22})=dim(\IR^2)+dim(\IR_{\le 22})=2+23=25[/mm].
>  
> Wie begründet man [mm]$dim(\IR_{\le 42}[/mm] [t][mm]/\IR_{\le 17}[/mm] [t])=25$?


Ist V ein Vektorraum der Dimension n und U ein Untervektorraum von V der Dimension m (damit ist m [mm] \le [/mm] n), so hat der Faktorraum V/U die Dimension n-m.



Bezug
                                                
Bezug
Isomorph: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 08:04 Do 30.03.2017
Autor: James90

Vielen vielen Dank!

Bezug
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