Isomorph <=> elem. Einbettung < Prädikatenlogik < Logik < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 15:06 Mi 08.06.2011 | | Autor: | algieba |
| Aufgabe | Seien [mm] $\mathcal{A}$ [/mm] und [mm] $\mathcal{B}$ $\mathcal{L}$-Strukturen
[/mm]
Zeige
[mm] $\mathcal{A} \cong \mathcal{B} \Rightarrow \mathcal{A} \equiv \mathcal{B}$
[/mm]
[mm] $\mathcal{A} \prec \mathcal{B} \Rightarrow \mathcal{A} \equiv \mathcal{B}$ [/mm] |
Hi
Mir hat jemand den Tipp gegeben, dass ich zeigen soll dass isomorphie und elementare Einbettung äquivalent sind, und zwar mit folgenden Definitionen:
Isomorphie:
$f: [mm] \mathcal{A} \rightarrow \mathcal{B}$ [/mm] Bijektion
[mm] $\mathcal{A} \cong \mathcal{B} \Leftrightarrow$ [/mm] für alle atomaren L-Formeln [mm] $\phi$ [/mm] und alle [mm] $a\in [/mm] A$ gilt:
[mm] $\mathcal{A} \vDash \phi(a) \Leftrightarrow $\mathcal{B} \vDash \phi(f(a))$
[/mm]
Elementare Einbettung:
$f: [mm] \mathcal{A} \rightarrow \mathcal{B}$ [/mm] Bijektion
[mm] $\mathcal{A} \prec \mathcal{B} \Leftrightarrow$ [/mm] für alle L-Formeln [mm] $\phi$ [/mm] und alle [mm] $a\in [/mm] A$ gilt:
[mm] $\mathcal{A} \vDash \phi(a) \Leftrightarrow $\mathcal{B} \vDash \phi(f(a))$
[/mm]
Elementare Äquivalenz:
[mm] $\mathcal{A} \equiv \mathcal{B} \Leftrightarrow [/mm] $ für jeden Satz (ohne freie Variablen) [mm] $\phi$ [/mm] gilt:
[mm] $\mathcal{A} \vDash \phi \Leftrightarrow \mathcal{B} \vDash \phi$
[/mm]
Jetzt meine Fragen:
Wieso ist diese Definition von Isomorphie äquivalent zu der normalen Definition von Isomorphie wie man sie z.B. ![[]](/images/popup.gif) hier in Definition 4.6 findet (Seite 5).
Das aus elementare Einbettung Isomorphie folgt ist ja sofort klar, da die atomaren Formeln ja in allen Formeln enthalten sind.
Andersrum geht es mit Induktion über den Aufbau von Formeln.
Jetzt muss ich ja aus einem von beiden folgern, dass elementare Äquivalenz gilt.
Kann ich dazu einfach sagen, dass ich in der elementaren Einbettbarkeit f als die Identität wähle, und die Sätze sind ja in den Formeln enthalten. q.e.d.
Hoffentlich kann mir jemand helfen
Vielen Dank
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:20 Fr 10.06.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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