Isomorphe Ringe < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:02 Fr 19.09.2008 | | Autor: | jokerose |
| Aufgabe | Seien n,m [mm] \in \IZ, [/mm] ggT(n,m) =1.
Zeigen Sie, dass [mm] \IZ/nm [/mm] und [mm] \IZ/n [/mm] x [mm] \IZ/m [/mm] isomorph sind als Ringe. |
Für ggT(n,m) > 1 gilt jener Isomorphismus nicht, dafür hätte ich auch ein Gegenbeispiel bereit. Aber das hilft mir leider für die Aufgabe nicht weiter.
die Abbildung sieht ja irgendwie so aus:
[mm] (\overline{nm}) \mapsto (\overline{n},\overline{m})
[/mm]
weiss aber nicht, wie ich diese Aufgabe anpacken soll...?
|
|
| |
|
> Seien n,m [mm]\in \IZ,[/mm] ggT(n,m) =1.
> Zeigen Sie, dass [mm]\IZ/nm[/mm] und [mm]\IZ/n[/mm] x [mm]\IZ/m[/mm] isomorph sind
> als Ringe.
> Für ggT(n,m) > 1 gilt jener Isomorphismus nicht, dafür
> hätte ich auch ein Gegenbeispiel bereit. Aber das hilft mir
> leider für die Aufgabe nicht weiter.
>
> die Abbildung sieht ja irgendwie so aus:
>
> [mm](\overline{nm}) \mapsto (\overline{n},\overline{m})[/mm]
Hallo,
versuch's mal mit der so definierten Abbildung:
[mm] \varphi (x+nm\IZ):=(x+n\IZ, x+m\IZ.).
[/mm]
Weißt Du denn, was zu zeigen ist?
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:06 Sa 20.09.2008 | | Autor: | jokerose |
Hallo
>
> [mm]\varphi (x+nm\IZ):=(x+n\IZ, x+m\IZ.).[/mm]
>
> Weißt Du denn, was zu zeigen ist?
>
Ja also ich habe nun mal gezeigt, dass [mm] \varphi (x+nm\IZ+y+nm\IZ) [/mm] = [mm] \varphi (x+nm\IZ) [/mm] + [mm] \varphi (y+nm\IZ)
[/mm]
und dann analog für die Multiplikation.
Doch hierfür habe ich nur mit der Definiton gearbeitet und habe nicht gebraucht, dass ggT(n,m)=1. Ist dies wohl trotzdem korrekt?
und nun müsste ich noch zeigen, dass [mm] \varphi(0) [/mm] = 0 ist, oder?
|
|
|
| |
|
> Hallo
>
> >
> > [mm]\varphi (x+nm\IZ):=(x+n\IZ, x+m\IZ.).[/mm]
> >
> > Weißt Du denn, was zu zeigen ist?
> >
>
> Ja also ich habe nun mal gezeigt, dass [mm]\varphi (x+nm\IZ+y+nm\IZ)[/mm]
> = [mm]\varphi (x+nm\IZ)[/mm] + [mm]\varphi (y+nm\IZ)[/mm]
> und dann analog
> für die Multiplikation.
> Doch hierfür habe ich nur mit der Definiton gearbeitet und
> habe nicht gebraucht, dass ggT(n,m)=1. Ist dies wohl
> trotzdem korrekt?
Hallo,
bis dahin hast Du dann gezeigt, daß es ein Ringhomomorphismus ist.
Du willst aber "Isomorphismus" zeigen, brauchst also die Surjektivität, was sehr einfach ist,
und noch die Injektivität.
>
> und nun müsste ich noch zeigen, dass [mm]\varphi(0)[/mm] = 0 ist,
Nein, das ist ja eine Folge daraus, daß man es mit einem Homomorphismus zu tun hat.
Für die Injektivität mußt Du zeigen, daß der Kern der Abbildung nur aus der Null besteht.
Noch eine andere Sache:
Nachzudenken wäre über die Wohldefiniertheit der Abbildung.
Wer oder was garantiert Dir, daß für [mm] x+nm\IZ=y+nm\IZ [/mm] auch [mm] \varphi(x+nm\IZ)=\varphi(y+nm\IZ) [/mm] gilt ?
[Vielleicht sagst Du das nicht, aber in meinem inneren Ohr höre ich unverzüglich: "Hä?".
Daher ein Beispiel: nehmen wir n=3 und m=5.
Es ist dann [mm] 7+15\IZ=37+15\IZ. [/mm] Sind die Funktionswerte wirklich gleich? )
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:59 Sa 20.09.2008 | | Autor: | jokerose |
Hallo
>
> Daher ein Beispiel: nehmen wir n=3 und m=5.
>
> Es ist dann [mm]7+15\IZ=37+15\IZ.[/mm] Sind die Funktionswerte
> wirklich gleich? )
>
also meines Erachtens sind die Funktionswerte gleich.
[mm] \varphi(7+15\IZ) [/mm] = (7 + [mm] 3\IZ [/mm] , 7 + [mm] 5\IZ)
[/mm]
[mm] \varphi(37+15\IZ) [/mm] = (37 + [mm] 3\IZ, [/mm] 37 + [mm] 5\IZ)
[/mm]
das ist doch zweimal dasselbe, oder?
|
|
|
| |
|
> Hallo
>
> >
> > Daher ein Beispiel: nehmen wir n=3 und m=5.
> >
> > Es ist dann [mm]7+15\IZ=37+15\IZ.[/mm] Sind die Funktionswerte
> > wirklich gleich? )
> >
>
> also meines Erachtens sind die Funktionswerte gleich.
> [mm]\varphi(7+15\IZ)[/mm] = (7 + [mm]3\IZ[/mm] , 7 + [mm]5\IZ)[/mm]
>
> [mm]\varphi(37+15\IZ)[/mm] = (37 + [mm]3\IZ,[/mm] 37 + [mm]5\IZ)[/mm]
>
>
> das ist doch zweimal dasselbe, oder?
Hallo,
ja,
weil 7 + [mm] 3\IZ= [/mm] 37 + [mm] 3\IZ= [/mm] 1 + [mm] 3\IZ
[/mm]
und 7 + [mm] 5\IZ=37 [/mm] + [mm] 5\IZ= [/mm] 2 + [mm] 5\IZ.
[/mm]
Aber das ist doch auf den ersten Blick gar nicht selbstverständlich, und deshalb ist es erwähnens- und zeigenswert.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:58 Sa 20.09.2008 | | Autor: | jokerose |
ah ok.
ja aber eine Frage ist bei mir immer noch offen.
Ich habe bei der ganzen Aufgabe nirgends gebraucht, dass ggT(n,m) = 1 sein muss. Doch dies müsse irgendwo gebraucht werden. Denn für ggT(n,m) [mm] \not=1 [/mm] stimmt dieser Isomorphismus doch nicht, oder? (sowas haben wir nämlich in der Vorlesung gesehen).
|
|
|
| |
|
> ja aber eine Frage ist bei mir immer noch offen.
> Ich habe bei der ganzen Aufgabe nirgends gebraucht, dass
> ggT(n,m) = 1 sein muss.
Hallo,
ja, wenn in Aufgaben Voraussetzungen gemacht werden, die man am Ende gar nicht benötigt, sollte man wirklich drüber nachdenken, ob man nichts falsch gemacht hat...
Hast Du die Injektivität denn schon gezeigt?
Gruß v. Angela
Doch dies müsse irgendwo gebraucht
> werden. Denn für ggT(n,m) [mm]\not=1[/mm] stimmt dieser
> Isomorphismus doch nicht, oder? (sowas haben wir nämlich in
> der Vorlesung gesehen).
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:49 Sa 20.09.2008 | | Autor: | jokerose |
ah ja genau, dort ist diese Bedinung notwenig.
Vielen Dank für die Hilfe.
gruss jokerose
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:32 Sa 18.10.2008 | | Autor: | jokerose |
Hallo
>
> Nachzudenken wäre über die Wohldefiniertheit der
> Abbildung.
>
> Wer oder was garantiert Dir, daß für [mm]x+nm\IZ=y+nm\IZ[/mm] auch
> [mm]\varphi(x+nm\IZ)=\varphi(y+nm\IZ)[/mm] gilt ?
Ich habe nun doch noch eine Frage zur Wohldefiniertheit der Abbildung.
(verwende nun die andere Schreibweise)
Ich muss ja zeigen, dass für [mm] [x]_{nm} [/mm] = [mm] [y]_{nm} [/mm] auch [mm] \varphi([x]_{nm}) [/mm] = [mm] \varphi([y]_{nm}) [/mm] gilt.
Es gilt angeblich [mm] [x]_{nm} [/mm] = [mm] [y]_{nm} \gdw [/mm] x-y [mm] \in \IZ/nm [/mm] .
Doch irgenwie verstehe ich dies nicht ganz (oder dann habe ichs falsch hingeschrieben)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:57 So 19.10.2008 | | Autor: | Fry |
Hallo,
die Aussage macht an sich keinen Sinn, da x und y natürliche Zahlen und keine Mengen sind.( [mm] x-y\in [/mm] Z/nmZ stimmt also nicht).
Vielleicht kannst du folgendes gebrauchen:
a+mZ = b+mZ <=> [mm] a-b\in [/mm] mZ.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:57 So 19.10.2008 | | Autor: | jokerose |
> Hallo,
>
> die Aussage macht an sich keinen Sinn, da x und y
> natürliche Zahlen und keine Mengen sind.( [mm]x-y\in[/mm] Z/nmZ
> stimmt also nicht).
> Vielleicht kannst du folgendes gebrauchen:
> a+mZ = b+mZ <=> [mm]a-b\in[/mm] mZ.
Hm ja, aber ich habe doch fast genau dasselbe hingeschriben. Nur die Notation dazu war wahrscheinlich falsch...! Wie müsste ich dies in der Notation mit den eckigen Klammern [ ] hinschreiben?
Doch eben genau diese Äquivalenz verstehe ich nicht ganz.
Weshalb gilt a+mZ = b+mZ <=> [mm]a-b\in[/mm] mZ ?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:57 So 19.10.2008 | | Autor: | Fry |
Hallo,
Also man sich die Sache z.B. über Nebenklassen erklären. Für additive Gruppen gilt nämlich:
G Gruppe, H Untergruppe von G, [mm] a,b\in [/mm] G. Dann gilt:
aH=bH <=> [mm] a-b\in [/mm] H
Der Beweis läuft über nen "Ringschluss" über andere äquivalente Aussagen,
wie <=> [mm] a\in [/mm] bH.
Anschaulich kann man sich das vielleicht mit Zahlenbeispielen klar machen:
[mm] a-b\in [/mm] mZ bedeutet ja, m teilt a-b, also ist a-b ein Vielfaches von m. Und a+mZ enthält ja gerade die Vielfachen von m plus a, b+mZ entsprechend. Diese beiden Mengen können aber doch nur identisch sein, wenn a und b sich um ein Vielfaches von m unterscheiden:
z.B. gilt:
2+3Z = 8+3Z
2+3Z = {2+n*3, [mm] n\in [/mm] Z}={...,2,5,8,11,14,...}
8+3Z = {8+n*3, [mm] n\in [/mm] Z}={....2,5,8,11,14,...}
Man sieht, dass die Differenz von 2 und 8 = 6 das 2fache von 3 ist.
Es ist also dasselbe, ob ich von 2 die Vielfachen von 3 rauf oder runterzähle, oder ob ich von 8 jeweils 3 immer wieder abziehe bzw addiere. Und das geht wie gesagt nur, wenn sich die beiden Zahlen um ein Vielfaches von 3 unterscheiden, logischerweise... ;)
Gruß
Christian
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:31 Mo 20.10.2008 | | Autor: | jokerose |
aja, jetzt ist klar. Danke für deine anschauliche Erklärung.
Nur noch eine letzte Frage:
Wie würde ich diese Äquivalenz nun mit Hilfe den eckigen Klammern schreiben?
etwa [mm] [a]_n [/mm] = [mm] [b]_n \gdw [/mm] a - b [mm] \in \IZ/n....?
[/mm]
Oder wie genau?
|
|
|
| |
|
> Nur noch eine letzte Frage:
> Wie würde ich diese Äquivalenz nun mit Hilfe den eckigen
> Klammern schreiben?
>
> etwa [mm][a]_n[/mm] = [mm][b]_n \gdw[/mm] a - b [mm]\in \IZ/n....?[/mm][/b][/mm]
> [mm][b] Oder wie genau? [/b][/mm]
Hallo,
so
[mm] [a]_n[/mm] [/mm] = [mm][mm] [b]_n [/mm] <==> [mm] a-b\in n\IZ.
[/mm]
Die rechte Seite in Worten: die Differenz ist ein ganzzahliges Vielfaches von n.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:23 Sa 20.09.2008 | | Autor: | pelzig |
> > die Abbildung sieht ja irgendwie so aus:
> > [mm](\overline{nm}) \mapsto (\overline{n},\overline{m})[/mm]
>
> Hallo,
> versuch's mal mit der so definierten Abbildung:
> [mm]\varphi (x+nm\IZ):=(x+n\IZ, x+m\IZ.).[/mm]
Das ist doch genau dieselbe Abbildung 
|
|
|
| |
|
> > > die Abbildung sieht ja irgendwie so aus:
> > > [mm](\overline{nm}) \mapsto (\overline{n},\overline{m})[/mm]
> >
>
> > Hallo,
> > versuch's mal mit der so definierten Abbildung:
> > [mm]\varphi (x+nm\IZ):=(x+n\IZ, x+m\IZ.).[/mm]
>
> Das ist doch genau dieselbe Abbildung
Hallo,
nein, das oben ist noch gar keine Abbildung.
Das sagt ja nur, daß ich [mm] \overline_{nm}, [/mm] also die Null von [mm] \IZ [/mm] / [mm] nm\IZ, [/mm] auf ( [mm] \overline_{n},\overline_{m}), [/mm] die Null in [mm] (\IZ [/mm] / [mm] n\IZ) [/mm] x [mm] (\IZ [/mm] / [mm] m\IZ) [/mm] abbilden soll.
Mir ist natürlich klar, daß jokerose höchstwahrscheinlich genau meine Abbildung meinte.
man muß es dann aber anders aufschreiben, z.B. so:
[mm] [x]_{nm} \mapsto ([x]_{n}, [x]_{m}).
[/mm]
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:32 Sa 20.09.2008 | | Autor: | pelzig |
Achso... stimmt
|
|
|
|
