Isomorphe topologische räume < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo
1.Für [mm] (T,O_T), (S,O_S) [/mm] topologische Räume, die isomorph sind. Folgt dann, dass die Topologien gleichmächtig sind, also [mm] |O_T|=|O_S|? [/mm] Ich habe irgendwo im Internet diese Behauptung gesehen.
2.Gilt die Umkehrung dann nicht?
Wie beweist man das? Und die Umkehrung?
Für 1 ist zu zeigen, dass es eine Bijektion zwischen [mm] O_T [/mm] und [mm] O_S [/mm] gibt, bekommt man diese irgendwie aus dem Homöo zwischen [mm] (T,O_T) \to (S,O_S) [/mm] ? Ich weiss nicht so genau, wie ich das anstellen soll, würde mich über Hilfestellungen freuen.
Lg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:39 Do 11.04.2013 | | Autor: | fred97 |
Seien $ [mm] (T,O_T), (S,O_S) [/mm] $ topologische Räume.
Ein Isomorphismus f:T [mm] \to [/mm] S ist ein Homöomorphismus, d.h. f ist stetig und bijektiv und [mm] f^{-1}:S \to [/mm] T ist ebenfalls stetig.
Definiert man nun [mm] F:O_T \to O_S [/mm] durch
F(A):=f(A),
so zeige mit der Stetigkeit von f und der Stetigkeit von [mm] f^{-1}, [/mm] dass F bijektiv ist.
FRED
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Ah okay danke
also erstmal ist dann f als Homöo offen.
Die Injektivität: für alle A,B [mm] \in O_T [/mm] mit F(A)=F(B) , dh. f(A)=f(B) und es folgt A=B da f injektiv.
Surjektivität: Sei B' [mm] \in O_S, [/mm] weil f stetig, ist [mm] f^{-1}(B')\in O_T, [/mm] setze [mm] f^{-1}(B')=A' [/mm] , dann ist weil f bijektiv, ist [mm] f(f^{-1}(B'))=B'=f(A')=F(A'), [/mm] F ist surjektiv.
Hoffe das ist so ok.
Vielen Dank, alles andere hat sich jetzt geklärt
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 06:06 Fr 12.04.2013 | | Autor: | fred97 |
> Ah okay danke
> also erstmal ist dann f als Homöo offen.
> Die Injektivität: für alle A,B [mm]\in O_T[/mm] mit F(A)=F(B) ,
> dh. f(A)=f(B) und es folgt A=B da f injektiv.
> Surjektivität: Sei B' [mm]\in O_S,[/mm] weil f stetig, ist
> [mm]f^{-1}(B')\in O_T,[/mm] setze [mm]f^{-1}(B')=A'[/mm] , dann ist weil f
> bijektiv, ist [mm]f(f^{-1}(B'))=B'=f(A')=F(A'),[/mm] F ist
> surjektiv.
> Hoffe das ist so ok.
Es ist O.K.
FRED
> Vielen Dank, alles andere hat sich jetzt geklärt
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 07:27 Fr 12.04.2013 | | Autor: | Schachtel5 |
vielen Dank!
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