Isomorphie < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | a) Zeigen Sie: Ist G eine Gruppe mit 9 Elementen, dann ist G entweder zu [mm] (\IZ / 9\IZ, +)[/mm] oder zu [mm] \IZ/ 3\IZ \times \IZ/ 3\IZ [/mm] isomorph.
b) Bestimmen sie anschließend alle Untergruppen von G. |
Hallo,
zu a) um die Isomorphie zu beweisen muss man ja erst zeigen, dass die Abbildung [mm] \varphi_{1} : G \to (\IZ / 9\IZ, +) [/mm] bzw. [mm] \varphi_{2} : G \to \IZ/ 3\IZ \times \IZ/ 3\IZ [/mm] ein Gruppenhomomorphismus ist und dann, dass die Abbildung bijektiv ist.
Ich weis aber nicht, wie ich das bewerkstelligen soll.
zu b) nach dem Satz von Langrange muss die Ordnung der Untergruppen die Ordnung von G teilen (#H | #G, mit [mm] H \subset G [/mm] Untergruppe). Also kommen nur die Untergruppen {e}, G und die Untergruppe mit der Ordnung 3 in Frage.
Ist damit b) vollständig gelöst oder habe ich was vergessen?
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:41 Mi 28.03.2007 | | Autor: | statler |
Guten Morgen Dennis!
> a) Zeigen Sie: Ist G eine Gruppe mit 9 Elementen, dann ist
> G entweder zu [mm](\IZ / 9\IZ, +)[/mm] oder zu [mm]\IZ/ 3\IZ \times \IZ/ 3\IZ[/mm]
> isomorph.
>
> b) Bestimmen sie anschließend alle Untergruppen von G.
> zu a) um die Isomorphie zu beweisen muss man ja erst
> zeigen, dass die Abbildung [mm]\varphi_{1} : G \to (\IZ / 9\IZ, +)[/mm]
> bzw. [mm]\varphi_{2} : G \to \IZ/ 3\IZ \times \IZ/ 3\IZ[/mm] ein
> Gruppenhomomorphismus ist und dann, dass die Abbildung
> bijektiv ist.
> Ich weiss aber nicht, wie ich das bewerkstelligen soll.
Z. B. so: Wenn G die Ordnung 9 hat, haben die Elemente die Ordnung 9, 3 oder 1. Wenn es ein Element der Ordnung 9 gibt, bist du fertig (Warum?). Sonst gibt es ein Element der Ordnung 3, das eine Untergruppe H der Ordnung 3 erzeugt, und ein weiteres Element der Ordnung 3, das nicht in H liegt. Dieses Element und die aus H erzeugen G (Warum?) Wie sieht dann die Gruppe G aus?
> zu b) nach dem Satz von Lagrange muss die Ordnung der
> Untergruppen die Ordnung von G teilen (#H | #G, mit [mm]H \subset G[/mm]
> Untergruppe). Also kommen nur die Untergruppen {e}, G und
> die Untergruppe mit der Ordnung 3 in Frage.
Wieso 'die' Untergruppe, es könnte doch mehrere geben? (Tut es im einen Fall auch, weil in einem direkten Produkt jeder Faktor auch Untergruppe ist!)
> Ist damit b) vollständig gelöst oder habe ich was
> vergessen?
Es ist nicht vollständig gelöst, und du hast etwas vergessen.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
|
|
|
|
