Isomorphie < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:01 Di 19.10.2010 | | Autor: | Mandy_90 |
Hallo^^
ich beschäftige mich grad mit der Isomorpihe.
Kann man sagen, dass zwei Mengen Isomorph zueinander sind,wenn sie sich gegenseitig umgekehrt abbilden (Umkehrabbildung?)?
Eigentlich sind doch dann zwei Mengen X und Y immer Isomorph zueinander oder,weil man doch immer eine Umkehrabbildung hat?
lg
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> ich beschäftige mich grad mit der Isomorpihe.
> Kann man sagen, dass zwei Mengen Isomorph zueinander
> sind,wenn sie sich gegenseitig umgekehrt abbilden
> (Umkehrabbildung?)?
> Eigentlich sind doch dann zwei Mengen X und Y immer
> Isomorph zueinander oder,weil man doch immer eine
> Umkehrabbildung hat?
Hallo,
Isomorphie ist das, was in der entsprechenden Definition steht.
Ich vermute mal, daß Du Dich nicht mit der Isomorphie irgendwelcher Mengen beschäftigen sollst, sondern mit der von Vektorräumen.
Wie ist die Isomorphie zweier Vektorräume definiert, was ist ein vektorraumisomorphismus,
und wieso sind der [mm] \IR^2 [/mm] und der [mm] \IR^3 [/mm] nicht isomorph zueinander?
Wenn Du diesen Fragen auf den Grund gegangen bist, bist Du schlauer als zuvor.
Gruß v. Angela
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:50 Mi 20.10.2010 | | Autor: | fred97 |
Ergänzend zu Angela:
Du schreibst: " ....weil man doch immer eine Umkehrabbildung hat".
Das ist nicht richtig. "Meistens" hat man keine Umkehrabbildung .
Beispiel (zum üben): Sei [mm] $X=\{1\}$ [/mm] und [mm] $Y=\{1,2 \}$
[/mm]
Es gibt genau 2 Abbildungen $f:X [mm] \to [/mm] Y$. Welche ?? Aber für solch eine Abbildung gibt es keine Umkehrabbildung [mm] $f^{-1}:Y \to [/mm] X$.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:09 Mi 20.10.2010 | | Autor: | Mandy_90 |
> Ergänzend zu Angela:
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> Du schreibst: " ....weil man doch immer eine
> Umkehrabbildung hat".
>
> Das ist nicht richtig. "Meistens" hat man keine
> Umkehrabbildung .
>
> Beispiel (zum üben): Sei [mm]X=\{1\}[/mm] und [mm]Y=\{1,2 \}[/mm]
>
> Es gibt genau 2 Abbildungen [mm]f:X \to Y[/mm]. Welche ?? Aber für
> solch eine Abbildung gibt es keine Umkehrabbildung [mm]f^{-1}:Y \to X[/mm].
>
Also die zwei Abbildungen sind doch 1.Die 1 wird auf die 1 abgebildet und 2.Die 1 wird auf die 2 abgebildet.
Gibt es immer dann keine Umkehrabbildung ,wenn auf ein Element mehrere Bilder abgebildet werden?
Nur mal so nebenbei: Ich überlege grad ob diese Abbildung injektiv,surjektiv oder gar nichts von beiden ist. Also da wir nur ein Element in der Urbildmenge haben,kann es ja keine verschiedenen Bilder für versch. Elemente geben.Aber es gibt auch keine 2 versch. Elemente die dasselbe Bild haben,also ist sie injektiv?
Und ob sie surjektiv ist,kann ich nicht genau sagen,weil ich nicht weiß was der zielbereich ist?
lg
>
> FRED
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:22 Mi 20.10.2010 | | Autor: | fred97 |
> > Ergänzend zu Angela:
> >
> >
> > Du schreibst: " ....weil man doch immer eine
> > Umkehrabbildung hat".
> >
> > Das ist nicht richtig. "Meistens" hat man keine
> > Umkehrabbildung .
> >
> > Beispiel (zum üben): Sei [mm]X=\{1\}[/mm] und [mm]Y=\{1,2 \}[/mm]
> >
> > Es gibt genau 2 Abbildungen [mm]f:X \to Y[/mm]. Welche ?? Aber für
> > solch eine Abbildung gibt es keine Umkehrabbildung [mm]f^{-1}:Y \to X[/mm].
> >
> Also die zwei Abbildungen sind doch 1.Die 1 wird auf die 1
> abgebildet und 2.Die 1 wird auf die 2 abgebildet.
Richtig
> Gibt es immer dann keine Umkehrabbildung ,wenn auf ein
> Element mehrere Bilder abgebildet werden?
Was ist denn das für ein Satz ?
>
> Nur mal so nebenbei: Ich überlege grad ob diese Abbildung
> injektiv,surjektiv oder gar nichts von beiden ist. Also da
> wir nur ein Element in der Urbildmenge haben,kann es ja
> keine verschiedenen Bilder für versch. Elemente geben.Aber
> es gibt auch keine 2 versch. Elemente die dasselbe Bild
> haben,also ist sie injektiv?
Stimmt
> Und ob sie surjektiv ist,kann ich nicht genau sagen,weil
> ich nicht weiß was der zielbereich ist?
Doch, das weißt Du : $Y= [mm] \{1,2\}$
[/mm]
FRED
>
> lg
> >
> > FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:29 Mi 20.10.2010 | | Autor: | Mandy_90 |
> > > Ergänzend zu Angela:
> > >
> > >
> > > Du schreibst: " ....weil man doch immer eine
> > > Umkehrabbildung hat".
> > >
> > > Das ist nicht richtig. "Meistens" hat man keine
> > > Umkehrabbildung .
> > >
> > > Beispiel (zum üben): Sei [mm]X=\{1\}[/mm] und [mm]Y=\{1,2 \}[/mm]
> > >
>
> > > Es gibt genau 2 Abbildungen [mm]f:X \to Y[/mm]. Welche ?? Aber für
> > > solch eine Abbildung gibt es keine Umkehrabbildung [mm]f^{-1}:Y \to X[/mm].
> > >
> > Also die zwei Abbildungen sind doch 1.Die 1 wird auf die 1
> > abgebildet und 2.Die 1 wird auf die 2 abgebildet.
>
> Richtig
>
> > Gibt es immer dann keine Umkehrabbildung ,wenn auf ein
> > Element mehrere Bilder abgebildet werden?
>
> Was ist denn das für ein Satz ?
weiß nicht :D
>
> >
> > Nur mal so nebenbei: Ich überlege grad ob diese Abbildung
> > injektiv,surjektiv oder gar nichts von beiden ist. Also da
> > wir nur ein Element in der Urbildmenge haben,kann es ja
> > keine verschiedenen Bilder für versch. Elemente geben.Aber
> > es gibt auch keine 2 versch. Elemente die dasselbe Bild
> > haben,also ist sie injektiv?
>
> Stimmt
>
> > Und ob sie surjektiv ist,kann ich nicht genau sagen,weil
> > ich nicht weiß was der zielbereich ist?
>
> Doch, das weißt Du : [mm]Y= \{1,2\}[/mm]
Achso,dann ist sie auch surjektiv,also ist sie bijektiv ?
>
>
> FRED
> >
> > lg
> > >
> > > FRED
> >
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:37 Mi 20.10.2010 | | Autor: | fred97 |
> > > > Ergänzend zu Angela:
> > > >
> > > >
> > > > Du schreibst: " ....weil man doch immer eine
> > > > Umkehrabbildung hat".
> > > >
> > > > Das ist nicht richtig. "Meistens" hat man keine
> > > > Umkehrabbildung .
> > > >
> > > > Beispiel (zum üben): Sei [mm]X=\{1\}[/mm] und [mm]Y=\{1,2 \}[/mm]
> >
> > >
> >
> > > > Es gibt genau 2 Abbildungen [mm]f:X \to Y[/mm]. Welche ?? Aber für
> > > > solch eine Abbildung gibt es keine Umkehrabbildung [mm]f^{-1}:Y \to X[/mm].
> > > >
> > > Also die zwei Abbildungen sind doch 1.Die 1 wird auf die 1
> > > abgebildet und 2.Die 1 wird auf die 2 abgebildet.
> >
> > Richtig
> >
> > > Gibt es immer dann keine Umkehrabbildung ,wenn auf ein
> > > Element mehrere Bilder abgebildet werden?
> >
> > Was ist denn das für ein Satz ?
>
> weiß nicht :D
Ich auch nicht
> >
> > >
> > > Nur mal so nebenbei: Ich überlege grad ob diese Abbildung
> > > injektiv,surjektiv oder gar nichts von beiden ist. Also da
> > > wir nur ein Element in der Urbildmenge haben,kann es ja
> > > keine verschiedenen Bilder für versch. Elemente geben.Aber
> > > es gibt auch keine 2 versch. Elemente die dasselbe Bild
> > > haben,also ist sie injektiv?
> >
> > Stimmt
> >
> > > Und ob sie surjektiv ist,kann ich nicht genau sagen,weil
> > > ich nicht weiß was der zielbereich ist?
> >
> > Doch, das weißt Du : [mm]Y= \{1,2\}[/mm]
>
> Achso,dann ist sie auch surjektiv,also ist sie bijektiv ?
Unfug ! Wir haben 2 Abb. [mm] $f_1,f_2:X \to [/mm] Y$, nämlich:
[mm] f_1(1)=1
[/mm]
und
[mm] f_2(1)=2.
[/mm]
Es ist [mm] $f_1(X) \ne [/mm] Y [mm] \ne f_2(X)$. [/mm] Beide Abbildungen sind also nicht surjektiv.
FRED
> >
> >
> > FRED
> > >
> > > lg
> > > >
> > > > FRED
> > >
> >
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:43 Mi 20.10.2010 | | Autor: | Mandy_90 |
> > > > > Ergänzend zu Angela:
> > > > >
> > > > >
> > > > > Du schreibst: " ....weil man doch immer eine
> > > > > Umkehrabbildung hat".
> > > > >
> > > > > Das ist nicht richtig. "Meistens" hat man keine
> > > > > Umkehrabbildung .
> > > > >
> > > > > Beispiel (zum üben): Sei [mm]X=\{1\}[/mm] und [mm]Y=\{1,2 \}[/mm]
>
> > >
> > > >
> > >
> > > > > Es gibt genau 2 Abbildungen [mm]f:X \to Y[/mm]. Welche ?? Aber für
> > > > > solch eine Abbildung gibt es keine Umkehrabbildung [mm]f^{-1}:Y \to X[/mm].
> > > > >
> > > > Also die zwei Abbildungen sind doch 1.Die 1 wird auf die 1
> > > > abgebildet und 2.Die 1 wird auf die 2 abgebildet.
> > >
> > > Richtig
> > >
> > > > Gibt es immer dann keine Umkehrabbildung ,wenn auf ein
> > > > Element mehrere Bilder abgebildet werden?
> > >
> > > Was ist denn das für ein Satz ?
> >
> > weiß nicht :D
>
> Ich auch nicht
>
>
> > >
> > > >
> > > > Nur mal so nebenbei: Ich überlege grad ob diese Abbildung
> > > > injektiv,surjektiv oder gar nichts von beiden ist. Also da
> > > > wir nur ein Element in der Urbildmenge haben,kann es ja
> > > > keine verschiedenen Bilder für versch. Elemente geben.Aber
> > > > es gibt auch keine 2 versch. Elemente die dasselbe Bild
> > > > haben,also ist sie injektiv?
> > >
> > > Stimmt
> > >
> > > > Und ob sie surjektiv ist,kann ich nicht genau sagen,weil
> > > > ich nicht weiß was der zielbereich ist?
> > >
> > > Doch, das weißt Du : [mm]Y= \{1,2\}[/mm]
> >
> > Achso,dann ist sie auch surjektiv,also ist sie bijektiv ?
>
> Unfug ! Wir haben 2 Abb. [mm]f_1,f_2:X \to Y[/mm], nämlich:
>
> [mm]f_1(1)=1[/mm]
>
> und
>
> [mm]f_2(1)=2.[/mm]
>
> Es ist [mm]f_1(X) \ne Y \ne f_2(X)[/mm]. Beide Abbildungen sind also
> nicht surjektiv.
Irgendwie steh ich grad aufm Schlauch.Wieso ist [mm]f_1(X) \ne Y \ne f_2(X)[/mm] ?
Es ist doch Y={1,2},so. Und die beiden Zahlen 1 und 2 haben doch ein Urbild,nämlich die 1 oder nicht?
lg
>
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Hallo,
jetzt betrachten wir mal langsam und streng getrennt die beiden zuvor besprochenen Funktionen - Neuigkeiten habe ich hierbei keine zu liefern.
> > > > > > Beispiel (zum üben): Sei [mm]X=\{1\}[/mm] und [mm]Y=\{1,2 \}[/mm]
Die erste der beiden Funktionen, die aus der Menge X in die Menge Y abbilden, ist die Funktion
[mm] f_1: X\to [/mm] Y
[mm] f_1(\green{1}):=\red{1}.
[/mm]
Es ist das Bild von [mm] f_1 [/mm] die Menge [mm] f_1(X)=\{\red{1}\}, [/mm] und Du siehst, daß das Bild von [mm] f_1 [/mm] eine Teilmenge von Y ist, aber keinesfalls die Menge Y selber.
Also ist die Funktion [mm] f_1 [/mm] nicht surjektiv - die 2 geht ja leer aus.
Nun schauen wir nach, ob [mm] f_1 [/mm] injektiv ist. Dazu müssen wir prüfen, ob jedes Element der Bildmenge genau ein Urbild hat - und nicht etwa zwei, drei oder mehr.
Das ist hier der Fall: die Bildmenge enthält nur ein Element, die [mm] \red{1}, [/mm] und nur ein Element wird darauf abgebildet, nämlich die [mm] \green{1}.
[/mm]
Nun noch etwas zu Urbild und Umkehrfunktion.
Eine Umkehrfunktion gibt es hier nicht, da [mm] f_1 [/mm] ja nicht bijektiv ist.
Für Verwirrung sorgt gern diese (richtige) Feststellung:
es ist [mm] f_1^{-1}(\{\red{1}\})=\{\green{1}\}.
[/mm]
Das hat nichts mit Umkehrfunktion zu tun:
wenn g irgendeine Funktion ist und A eine Menge, dann ist [mm] g^{-1}(A) [/mm] das Urbild von A. Ich hab' oben das Urbild der Menge [mm] \{1\} [/mm] aufgeschrieben.
Nur zum Spaß: es ist [mm] f_1^{-1}(Y)=X [/mm] - nicht so das große Weltwunder...
So, ich hab' mich umentscheiden: für [mm] f_2 [/mm] kannst Du Dir das alles selbst überlegen,
und wenn Du das getan und verstanden hast, kannst Du ja mal darüber nachdenken, welche Funktionen es gibt, die von [mm] A:=\{a,b\} [/mm] in die Menge [mm] C:=\{c\} [/mm] abbilden, und deren Eigenschaften ein wenig durchleuchten. Oder beleuchten.
Gruß v. Angela
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