Isomorphie eines Tensorproduktes < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 23:38 Di 06.07.2004 | | Autor: | Wurzelpi |
Hallo zusammen!
Ich tüftel gerade an einer Aufgabe herum, komme aber auf keinen vernünftigen Ansatz:
Und zwar:
Es seien R ein euklidischer Ring, a,b aus R mit 1 [mm]\in[/mm] ggT(a,b).
Zu zeigen ist:
R/aR [mm]\otimes[/mm] R/bR ist isomorph zu {0}.
Für einen Denkanstoss wäre ich sehr dankbar!
Gruss,
Wurzpelpi
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Vielleicht ein kleiner Denkanstoß: Du mußt zeigen, dass jedes Element des Tensorproduktes gleich 0 ist. Wenn Du zeigen kannst, dass dies schon für jedes Element der Form [mm] r \otimes s [/mm] mit [mm] r \in R / aR [/mm] und [mm] s \in R / bR[/mm] gilt, dann bist Du fertig, weil jedes Element des Tensorproduktes sich als Summe solcher Elemente schreiben läßt.
Wenn aber 1 ein größter gemeinsamer Teiler ist, dann folgt für einen euklidischen Ring, dass man 1 als Linearkombination von a und b schreiben kann, also
[mm] 1 = \eta a + \mu b \quad \eta, \mu \in R[/mm]
Da über R tensoriert wurde und die beiden Ringe R-Moduln sind, können Elemente aus R gewissermaßen vom einen Faktor in den anderen transferiert werden, aufgrund der formalen Rechenregeln für das Tensorprodukt. Jetzt mußt Du also in dem Element oben entweder die Klasse von r oder die von s durch geeignet Multiplikation zu 0 machen. :)
Gnometech
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:57 Mi 07.07.2004 | | Autor: | Wurzelpi |
HI!
Danke für Deine schnelle Antwort, doch leider weiss ich nicht so ganz, warauf du hinauf willst.
Kannst Du vielleicht Deine Erklärungen etwas ausweiten?
(Vielleicht ist es einfach auch schon zu spät!)
Gruss,
Wurzelpi
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Also gut... wir wissen, dass 1 ein ggT von a und b ist, daraus folgt:
[mm] 1 = \eta a + \mu b, \quad \eta, \mu \in R [/mm]
Sei [mm] r \otimes s \in R / aR \otimes R / bR [/mm] beliebig. Dann gilt:
[mm] r \otimes s = 1 \cdot (r \otimes s) = (\eta a + \mu b) (r \otimes s) = \eta a (r \otimes s) + \mu b (r \otimes s) = \eta (ar \otimes s) + \mu (r \otimes bs) = \eta (0 \otimes s) + \mu (r \otimes 0) = 0[/mm]
Das gilt, da [mm] ar = 0 [/mm] in [mm] R / aR[/mm] und entsprechend [mm] bs = 0 [/mm] in [mm] R/bR[/mm] ist.
Gnometech
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:10 Mi 07.07.2004 | | Autor: | Wurzelpi |
Hallo nochmal!
Danke,danke!
Bis auf den letzten Schritt hatte ich das nach dem deinem Tipp auch.
Doch den letzten Dreh habe ich nicht mehr erkannt!
Gruss,
Wurzelpi
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