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Forum "Algebra" - Isomorphie von Gruppen
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Isomorphie von Gruppen: Dieses mal multiplikativ ...
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:19 Di 07.11.2006
Autor: Math_Preacher

Aufgabe
Sind [mm] \IR^{x} [/mm] und [mm] \IC^{x} [/mm] isomorph?

Hallo allerseits (schon wieder, ich weiß ... ;-p)!

Das mag jetzt vielleicht banal erscheinen, aber auch hier komme ich nicht weiter: Wie sehe ich denn, ob die multiplikativen (!) Gruppen [mm] \IR^{x} [/mm] = [mm] \IR\setminus\{0\} [/mm] und [mm] \IC^{x} [/mm] = [mm] \IC\setminus\{0\} [/mm] isomorph sind oder nicht?

Bin für jede Hilfe dankbar!

Gruß,

Alex


P.S. (...):

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Isomorphie von Gruppen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 04:14 Mi 08.11.2006
Autor: zahlenspieler

Hallo Math_Preacher,
hier könntest Du z.B. die Untergruppe [mm]E:=\{\pm 1, \pm i\}[/mm] von [mm]\IC^\times[/mm] betrachten, wobei Du annimmst, daß [mm]\phi\colon \IC^\times \to \IR^\times[/mm] ein Isomorphismus ist. Dann ist [mm]\phi(E)[/mm] als Bild einer zyklischen Gruppe wieder zyklisch. Jetzt nimm Dir eine Zahl [mm]r \in \IR \ \{0, \pm 1\}[/mm], setze [mm]\phi(i)=r[/mm] und schau mal ob Du so zu einem Widerspruch kommst.
Hth
zahlenspieler
P.S.: Entschuldige meine 1. Antwort, weiß nicht wie das passiert ist [peinlich].

Bezug
                
Bezug
Isomorphie von Gruppen: Rückfrage
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 01:04 Do 09.11.2006
Autor: Math_Preacher

Lieber zahlenspieler,

ich möchte nicht undankbar erscheinen, aber meine Aufgabe hat mit Deinem Link nicht wirklich etwas zu tun:

Ich möchte herausfinden, ob die multiplikativen Gruppen [mm] \IR\setminus\{0\} [/mm] und [mm] \IC\setminus\{0\} [/mm] zueinander isomorph sind - daß sie mit der Multiplikation jeweils Gruppen sind, ist nicht nur klar, sondern sogar bereits gegeben, und ist damit nicht mehr zu zeigen.

Bezug
                
Bezug
Isomorphie von Gruppen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:07 Fr 10.11.2006
Autor: felixf

Hallo!

>  hier könntest Du z.B. die Untergruppe [mm]E:=\{\pm 1, \pm i\}[/mm]
> von [mm]\IC^\times[/mm] betrachten, wobei Du annimmst, daß
> [mm]\phi\colon \IC^\times \to \IR^\times[/mm] ein Isomorphismus ist.
> Dann ist [mm]\phi(E)[/mm] als Bild einer zyklischen Gruppe wieder
> zyklisch. Jetzt nimm Dir eine Zahl [mm]r \in \IR \ \{0, \pm 1\}[/mm],
> setze [mm]\phi(i)=r[/mm] und schau mal ob Du so zu einem Widerspruch
> kommst.

Genau. Alternativ kann man sich auch die Nicht-Existenz von Quadratwurzeln bestimmter Elemente aus [mm] $\IR$ [/mm] anschauen; in [mm] $\IC$ [/mm] hat ja jedes Element eine Quadratwurzel.

LG Felix


Bezug
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