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| Aufgabe | Sei V ein endlich-dimensionaler [mm]\IC - VR[/mm], [mm]H(V)[/mm] die Menge der hermiteschen Formen über V und [mm]Mat^{herm}(n \times n, \IC)[/mm] die Menge der hermitschen nxn Matrizen über C. Sei [mm]B=(b_1, b_2, ...., b_n)[/mm] eine Basis von V.
Zeige, dass [mm]f: H(V) \to Mat^{herm}(n \times n, \IC), <*, *> \to Mat_{B}(<*,*>):= ()_{i,j=1...n} [/mm] ein wohldefinierter VR-Isomorphismus ist. |
Hallo!
Ich sitze nun einige Zeit an der Aufgabe und habe soweit eine Lösung für mich gefunden. Ich habe aber ein wenig den Überblick verloren, so dass ich mir überhaupt nicht mehr sicher bin, was ich eigentlich gemacht habe und ob das auch richtig ist.
Für die Wohldefiniertheit:
[mm]<*,*> \in H(V)[/mm]
=> [mm]Mat_{B}(<*,*>) = ()_{i,j=1...n} = (\overline{})_{i,j} = \overline{()_{i,j}} =\overline{()_{i,j}}^{T} = ()_{i,j}^{\*}[/mm]
Für Isomorphismus:
Sei [mm] \varphi_{B} : V \to \IC^{n}[/mm] die zur Basis B zugehörige Koordinatenabbildung.
Setze [mm]g: Mat^{herm}(n \times n, \IC) \to H(V), A \to <*,*>_{A}[/mm] mit [mm]<*,*>_{A}: V \to \IC, (x,y) \to \varphi_{B}(x)^{T}*A*\overline{\varphi_{B}(y)}[/mm]
Wähle [mm]A=(a_{i,j})_{i,j=1..n} \in Mat^{herm}(n \times n, \IC)[/mm]
=> [mm]f(g(A)) = f(<*,*>_{A}) = Mat_{B}(<*,*>_{A}) = (\varphi_{B}(b_i)^{T}*A*\overline{\varphi_{B}(b_j)})_{i,j=1...n}= (e_{i}^{T}*A*\underbrace{\overline{e_j}}_{=e_j})_{i,j=1...n} = (a_{i,j})_{i,j=1...n} = A[/mm]
Wähle nun [mm] \phi \in H(V)[/mm]
=> [mm]g(f(\phi))= g(Mat_{B}(\phi)) = g((\phi(b_i,b_j))_{i,j}) : (x,y) \to \varphi_{B}(x)^{T}* (\phi(bi,bj))_{i,j=1...n}*\overline{\varphi_{B}(y)} = \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} \alpha_{i} *\phi(b_i,b_j)*\overline{\beta_j} = \phi(\sum_{i=1}^{n} \alpha_{i}*b_i, \sum_{j=1}^{n} \beta_{j}*b_j) = \phi(x,y)[/mm]
=> g ist inversen Abbildung zu f => f ist ein VR-Isomorphismus
Ist das bis hierhin richtig? Mir kommt es vor, als würde ich etwas übersehen... Wäre lieb, falls da mal jemand drüber schauen könnte
LG
maggie
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:12 Mi 20.04.2016 | | Autor: | hippias |
Mir ist kein Fehler aufgefallen: gut gemacht. Aber Du hast bisher nur bewiesen, dass $f$ Bijektion mit Inverser $g$ ist, sodass Du noch zeigen musst, dass $f$ überhaupt ein VR-Homomorphismus ist.
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