matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenGruppe, Ring, KörperIsomorphiebeweis
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Geschichte • Erdkunde • Sozialwissenschaften • Politik/Wirtschaft
Forum "Gruppe, Ring, Körper" - Isomorphiebeweis
Isomorphiebeweis < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Gruppe, Ring, Körper"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Isomorphiebeweis: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:57 So 08.04.2007
Autor: Markuz

Aufgabe
Sei A= { [mm] \pmat{ a & 2b \\ b & a }|a, [/mm] b [mm] \in \IQ [/mm] } mit den üblichen Matritzenoperationen.
Man zeige: A ist Körper, der zu [mm] \IQ[\wurzel{2}] [/mm] isomorph ist.

Zu Grunde liegt folgende Definition:
Zwei Ringe R und S heißen isomorph, falls es einen Ringisomorphismus [mm] \phi:R \to [/mm] S gibt, also eine bijektive Abbildung mit [mm] \phi(r+r')=\phi(r)+\phi(r') [/mm]  und [mm] \phi(rr')=\phi(r)\phi(r') [/mm] für alle r, r' [mm] \in [/mm] R sowie [mm] \phi(1_{R})=1_{S} [/mm]

Ich suche also eine bijektive Abb. von A nach [mm] \IQ[\wurzel{2}] [/mm]

Ich bin mir nicht sicher, ob folgender Ansatz richtig ist:

Sei zum Beispiel folgende Abbildung [mm] \pi [/mm] erklärt durch:
[mm] \pi [/mm] : A [mm] \to \IQ[\wurzel{2}] [/mm]
mit [mm] \pi [/mm] (M) = [mm] max(\lambda_{1}, \lambda_{2}), [/mm] mit [mm] M\in [/mm] A und [mm] \lambda_{1}, \lambda_{2} [/mm] Eigenwert von M

Mit dieser Abbildung bekomme ich ein Element aus [mm] \IQ[\wurzel{2}] [/mm] durch eine Matrix aus A.

Ich denke ich muss nun nachweisen, dass [mm] \pi [/mm] bijektiv, also in- und surjektiv ist, bevor ich die Forderungen der Definition zeige.

Surjektiv:
Sei [mm] x=a+b\wurzel{2} [/mm] beliebig aus [mm] \IQ[\wurzel{2}] [/mm]
ZZ: Es gibt M [mm] \in [/mm] A mit [mm] \pi(M)=a+b\wurzel{2} [/mm]
Wähle [mm] M=\pmat{ a & 2b \\ b & a } [/mm] mit a [mm] \ge b\wurzel{2} [/mm]
qed

Injektiv (durch Kontrapos):
Seien M, M' [mm] \in [/mm] A
mit [mm] M'\not= [/mm] M

1.Fall
[mm] M=\pmat{ a & 2b \\ b & a } [/mm]
[mm] M'=\pmat{ a' & 2b \\ b & a' } [/mm]  mit [mm] a\not=a' [/mm]

Klar, dass [mm] \pi(M) \not= \pi(M') [/mm]

2. Fall

[mm] M=\pmat{ a & 2b \\ b & a } [/mm]
[mm] M'=\pmat{ a & 2b' \\ b' & a } [/mm] mit [mm] b\not=b' [/mm]

Klar, dass [mm] \pi(M) \not= \pi(M') [/mm]

3. Fall

[mm] M=\pmat{ a & 2b \\ b & a } [/mm]
[mm] M'=\pmat{ a' & 2b' \\ b' & a' } [/mm] mit [mm] a\not=a' [/mm] und [mm] b\not=b' [/mm]

Annahme.
[mm] a+b\wurzel{2}=a'+b'\wurzel{2} (\in \IQ[\wurzel{2}]) [/mm]

dann
[mm] (a-a')+(b-b')\wurzel{2}=0 [/mm]
Genau dann, wenn a=a' und b=b' (wegen der lin Unabhangigleit von 1 und [mm] \wurzel{2} [/mm] in [mm] \IQ[\wurzel{2}] [/mm]
Widerspruch!

Also ist [mm] \pi [/mm] bijektiv
Jetzt reciht es doch die Forderungen der Def nachzurechen oder? Natürlich muss ich vor alldem zeigen, dass A ein Körper ist.

Puhhh! Ich bin mir nicht sicher, aber ist das oben soweit ok? Oder ist das extrem zu umständlich???
Ich würde mich freuen, wenn mir jemand weiterhelfen kann!
Gruß
markus

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.


Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Gruppe, Ring, Körper"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.matheraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]