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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:18 Di 30.11.2010 | | Autor: | dennis2 |
| Aufgabe | Zeigen Sie, dass
[mm] \phi:\IZ_n' \to [/mm] Aut(G), m [mm] \to (a^{i} \to a^{mi}) [/mm]
ein Isomorphismus ist.
Bemerkung:
[mm] \IZ_n^{'}:=\{m\in \IZ_n: ggT(m,n)=1\}, [/mm] die sog. prime Restklassengruppe |
Hallo, ich benötige bitte Eure Hilfe.
Ich soll zeigen, dass [mm] \phi [/mm] ein Isomorphismus ist.
Ich würde jetzt aus dem Bauch heraus sagen, dass man hier mit Homomorphie- oder Isomorphiesätzen arbeiten soll, habe aber keine Idee, wie man ansetzen kann.
Wer kann mir einen Tipp geben, wie ich starten kann?
Es wäre schon eine Hilfe, wenn mir jemand z.B. einfach sagen könnte: "Nimm den und den Isomorphiesatz."
Danke!!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:26 Di 30.11.2010 | | Autor: | dennis2 |
Meine spontane, intuitive Idee ist folgende:
Vielleicht ist ja [mm] \xi: \IZ_n^{'} \to [/mm] Aut(G) ein Homomorphismus und der Kern dieser Abb. besteht aus 1.
Wäre dann nicht nach dem Homomorphiesatz ein Isomorphismus der Form
[mm] \xi_{isomorphismus}:\IZ_n^{'}/1 \to Im(\xi) [/mm] [=Aut(G)] induziert?
Und das wäre das [mm] \phi, [/mm] weil [mm] \IZ_n^{'}/1 [/mm] doch identisch mit [mm] \IZ_n^{'} [/mm] ist.
[So in etwa?]
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 18:19 Di 30.11.2010 | | Autor: | dennis2 |
| Aufgabe | Ich formuliere meine Idee nochmal als Frage:
Ist die Aufgabe zu lösen, indem man zeigen kann, dass [mm] \phi:\IZ_n^{'} \to [/mm] Aut(G) ein Homomorphismus ist?
Besteht dann der Kern von [mm] \phi [/mm] aus 1, so ist doch nach dem Homomorphiesatz [mm] \phi [/mm] auch ein Isomorphismus, oder?
Da doch [mm] \IZ_{n}^{'}/1=\IZ_{n}^{'}.
[/mm]
Ist der Ansatz richtig?
Welcher Ansatz ist richtig, wenn dieser falsch ist? |
Wer kann mir hierbei kurz helfen?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:20 Di 30.11.2010 | | Autor: | dennis2 |
Mir macht die Beschreibung der Abbildung ein paar Probleme.
Eine Zahl m aus einer Restklassengruppe wird durch [mm] \phi [/mm] abgebildet auf einen Automorphismus z.B. [mm] \delta [/mm] in der Automorphismengruppe und dieser bildet ein Element [mm] a^i [/mm] ab auf ein Element [mm] a^{mi}.
[/mm]
Was ist denn dann der Kern von [mm] \phi?
[/mm]
Diejenigen Elemente, die abgebildet werden auf das neutrale Element der Automorphismengruppe. Das müsste die identische Abbildung sein.
Irgendwie weiß ich nun nicht, was der Kern von [mm] \phi [/mm] sein könnte.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:18 Mi 01.12.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Zeigen Sie, dass
>
> [mm]\phi:\IZ_n' \to[/mm] Aut(G), m [mm]\to (a^{i} \to a^{mi})[/mm]
>
> ein Isomorphismus ist.
Ist $G$ eine zyklische Gruppe der Ordnung $n$, erzeugt von $a$?
> Bemerkung:
>
> [mm]\IZ_n^{'}:=\{m\in \IZ_n: ggT(m,n)=1\},[/mm] die sog. prime
> Restklassengruppe
> Hallo, ich benötige bitte Eure Hilfe.
>
> Ich soll zeigen, dass [mm]\phi[/mm] ein Isomorphismus ist.
> Ich würde jetzt aus dem Bauch heraus sagen, dass man hier
> mit Homomorphie- oder Isomorphiesätzen arbeiten soll, habe
> aber keine Idee, wie man ansetzen kann.
Zeige:
a) [mm] $\IZ \to [/mm] End(G)$, $m [mm] \mapsto (a^i \mapsto a^{m i})$ [/mm] ist ein surjektiver Ringhomomorphismus.
b) Der Kern des Homomorphismus' ist $n [mm] \IZ$.
[/mm]
c) Folgere mit dem Homomorphiesatz: $End(G) [mm] \cong \IZ/n\IZ [/mm] = [mm] \IZ_n$.
[/mm]
d) Benutze, dass Einheiten von Isomorphismen erhalten bleiben, und dass die Einheiten von $End(G)$ gerade $Aut(G)$ sind.
Alternativ kannst du das ganze auch "von Hand" nachrechnen:
1) Zeige, dass $m [mm] \in \IZ_n^\ast$ [/mm] mit $G [mm] \to [/mm] G$, $b [mm] \mapsto b^m$ [/mm] einen Homomorphismus liefert.
2) Zeige, dass der Homomorphismus bijektiv ist, indem du den inversen Homomorphismus angibst (dazu brauchst du das Inverse vom $m$ in [mm] $\IZ_n^\ast$).
[/mm]
3) Zeige, dass jeder Automorphismus von $G$ von dieser Form ist. Dazu zeige zuerst, dass er von der Form $b [mm] \mapsto b^m$ [/mm] ist fuer ein passendes $m$, welches du von $a [mm] \mapsto a^m$ [/mm] bekommen kannst. Dann zeige, dass $m$ koprim zu $n$ sein muss, damit es injektiv bzw. surjektiv ist.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 06:20 Do 02.12.2010 | | Autor: | dennis2 |
Ja, das hatte ich vergessen, dazu zu schreiben:
G ist eine zyklische Gruppe der Ordnung n.
Entschuldigung.
Was bedeutet denn "koprim"? [Das habe ich noch nie gehört.]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 07:54 Do 02.12.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Was bedeutet denn "koprim"? [Das habe ich noch nie
> gehört.]
Ist einfach ein anderes Wort fuer "teilerfremd". (Auf Englisch heisst "teilerfremd" uebrigens "coprime".)
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 06:23 Do 02.12.2010 | | Autor: | dennis2 |
| Aufgabe | | D.h. ich muss im Grunde die Isomorphismuseigenschaft nachweisen (Homomorphismus, bijektiv), das sind Punkt 1 und Punkt 2... |
...aber bei Punkt 3 verstehe ich nicht, was Du meinst bzw. was ich da zeigen muss.
Kannst Du das nochmal erklären?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:57 Do 02.12.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> D.h. ich muss im Grunde die Isomorphismuseigenschaft
> nachweisen (Homomorphismus, bijektiv), das sind Punkt 1 und
> Punkt 2...
> ...aber bei Punkt 3 verstehe ich nicht, was Du meinst bzw.
> was ich da zeigen muss.
Punkt 1 = Zeige, dass [mm] $\phi(m)$ [/mm] ein Endomorphismus von $G$ ist.
Punkt 2 = Zeige, dass [mm] $\phi(m)$ [/mm] sogar ein Automorphismus von $G$ ist.
(Anders gesagt: Punkt 1 und 2 zeigen, dass [mm] $\phi$ [/mm] wohldefiniert ist.)
Punkt 3 = Zeige, dass [mm] $\phi$ [/mm] surjektiv ist.
Eigentlich fehlen noch Punkte 4 und 5: zeige, dass [mm] $\phi$ [/mm] ein Homomorphismus ist und dass [mm] $\phi$ [/mm] injektiv ist.
LG Felix
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 20:17 Fr 03.12.2010 | | Autor: | dennis2 |
| Aufgabe | Ich weiß nicht, wie ich das jeweils zeigen kann und warum ich gerade das zeigen muss.
Kann mir das jemand erklären? |
zu 1)... Endomorphismus...
[mm] \phi(m*k)=a^{mk*i}
[/mm]
[mm] \phi(m)*\phi(k)=a^{mi}*a^{ki}... [/mm] das ist doch nicht gleich...
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:25 So 05.12.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Frage) überfällig | | Datum: | 13:48 Mi 08.12.2010 | | Autor: | dennis2 |
Diese Frage habe ich oben bereits gestellt und auch schon einige Lösungshinweise bekommen; die habe ich leider nicht verstanden.
Wer kann mir die einzelnen Schritte, die zu zeigen sind, nochmal (möglichst verständlich) erklären?
Ich würde sagen, man muss zeigen:
1.) Wohldefiniertheit der Abbildung [mm] \phi
[/mm]
2.) Homomorphie der Abbildung [mm] \phi
[/mm]
3.) Bijektivität der Abbildung [mm] \phi
[/mm]
Ist das korrekt?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:20 Fr 10.12.2010 | | Autor: | dennis2 |
Okay, schade, dass niemand helfen konnte.
Die Aufgabe kann jetzt als beendet betrachtet werden.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:20 Fr 10.12.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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