Isomorphieklassen < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Für [mm] n\ge [/mm] 1 sei [mm] \Psi(n) [/mm] die Anzahl der Isomorphiklassen der endlichen abelschen Gruppen von Ordnung n. Es gilt zum Beispiel [mm] \Psi(p)=1 [/mm] für jede Primzahl p.
(i)Berechnen Sie [mm] \Psi(32)
[/mm]
(ii) Berechnen Sie [mm] \Psi(1500)
[/mm]
(iii) Zeigen Sie, dass die zahlentheoretische Funktion [mm] \Psi [/mm] multiplikativ ist, also dass [mm] \Psi(ab) [/mm] = [mm] \Psi(a)\Psi(b) [/mm] gilt, wenn a,b relativ prim zueinander sind. |
Wie berechne ich so etwas? Wenn ich für (ii) (iii) verwende, habe ich [mm] 1500=2^2*3*5^3, [/mm] also [mm] \Psi(1500) [/mm] = [mm] 2*1*\Psi(125). [/mm] Aber leider weiß ich nur für kleine Ordnungen, wie viele Gruppentypen es gibt. Wie bestimme ich das aber?
Für n=32 gibt es sicherlich C_32, [mm] C_{16}\times C_2, C_8\times C_4, C_2^5, [/mm] ... Aber wie bestimme ich ALLE?
Und vor allem: wie zeige ich die Multiplikativität einer Funktion, die ich nicht beschreiben kann?
Leider haben wir nichts derartiges in der Vorlesung gemacht, also bin ich für jede Hilfe dankbar!!!
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:55 Mi 03.05.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Für [mm]n\ge[/mm] 1 sei [mm]\Psi(n)[/mm] die Anzahl der Isomorphiklassen der
> endlichen abelschen Gruppen von Ordnung n. Es gilt zum
> Beispiel [mm]\Psi(p)=1[/mm] für jede Primzahl p.
> (i)Berechnen Sie [mm]\Psi(32)[/mm]
> (ii) Berechnen Sie [mm]\Psi(1500)[/mm]
> (iii) Zeigen Sie, dass die zahlentheoretische Funktion
> [mm]\Psi[/mm] multiplikativ ist, also dass [mm]\Psi(ab)[/mm] = [mm]\Psi(a)\Psi(b)[/mm]
> gilt, wenn a,b relativ prim zueinander sind.
> Wie berechne ich so etwas? Wenn ich für (ii) (iii)
> verwende, habe ich [mm]1500=2^2*3*5^3,[/mm] also [mm]\Psi(1500)[/mm] =
> [mm]2*1*\Psi(125).[/mm] Aber leider weiß ich nur für kleine
> Ordnungen, wie viele Gruppentypen es gibt. Wie bestimme ich
> das aber?
> Für n=32 gibt es sicherlich C_32, [mm]C_{16}\times C_2, C_8\times C_4, C_2^5,[/mm]
> ... Aber wie bestimme ich ALLE?
> Und vor allem: wie zeige ich die Multiplikativität einer
> Funktion, die ich nicht beschreiben kann?
>
> Leider haben wir nichts derartiges in der Vorlesung
> gemacht, also bin ich für jede Hilfe dankbar!!!
Also den Haupsatz ueber endliche (oder endlich erzeugte) Abelsche Gruppen habt ihr doch sicher gemacht -- so etwas wie jede endliche Abelsche Gruppe $G$ mit $|G| > 1$ ist zu genau einem Produkt der Form [mm] $C_{n_1} \times \dots \times C_{n_k}$ [/mm] isomorph, wobei [mm] $n_i [/mm] > 1$ ist und [mm] $n_1 \mid n_2$, $n_2 \mid n_3$, $\dots$, $n_{k-1} \mid n_k$.
[/mm]
Es ist $|G| = [mm] n_1 \cdots n_k$, [/mm] womit du fuer ein vorgegebenes $|G|$ alle Zahlenfolgen [mm] $n_1, \dots, n_k$ [/mm] finden kannst die die Aussage des Hauptsatzes erfuellen. Und damit bekommst du alle.
Bei Primzahlpotenzen geht es noch einfacher: Ist $|G| = [mm] p^n$ [/mm] mit $p$ prim, so ist die Anzahl der Gruppen gerade die Partitionszahl von $n$, also die Anzahl der Moeglichkeiten, $n = [mm] a_1 [/mm] + [mm] \dots [/mm] + [mm] a_k$ [/mm] zu schreiben mit $1 [mm] \le a_1 \le \dots \le a_k$, $a_i \in \IN$, [/mm] $k [mm] \in \IN$. [/mm] Bei kleinen Exponenten laesst sich das sehr einfach ueber Kaestchenmalen berechnen :)
LG Felix
|
|
|
| |
|
Ups, jetzt wo du es sagst... Bei uns heißen die wichtigen Sachen aber nie so, dass man sie als solche erkennt...
OK, für 32 habe ich dann folgende Gruppen: [mm] C_{32}, C_{16} \times C_2, C_8\times C_4, C_8 \times C_2\times C_2, C_4\times C_4\times C_2, C_4\times C_2\times C_2\times C_2 [/mm] und [mm] C_2^5. [/mm] Sind doch dann alle, oder? D.h. [mm] \Psi(32)=7
[/mm]
Und für [mm] 1500=2^2+3+5^3 [/mm] benutze ich (iii) und weiß: [mm] \Psi(1500) [/mm] = [mm] 2*1*\Psi(125).
[/mm]
Letzteres bestimme ich mit den Isomorphien:
[mm] C_{125}, C_{25}\times C_5, C_5^3. [/mm] Das sind nur 3, wenn ich keine vergessen habe. Also [mm] \Psi(1500) [/mm] =2*1*3=6
Bleibt nur noch Teil (iii). Ich weiß immer noch nicht so recht, wie ich das zeigen soll... Ideen?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:37 Mi 03.05.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Ups, jetzt wo du es sagst... Bei uns heißen die wichtigen
> Sachen aber nie so, dass man sie als solche erkennt...
>
> OK, für 32 habe ich dann folgende Gruppen: [mm]C_{32}, C_{16} \times C_2, C_8\times C_4, C_8 \times C_2\times C_2, C_4\times C_4\times C_2, C_4\times C_2\times C_2\times C_2[/mm]
> und [mm]C_2^5.[/mm] Sind doch dann alle, oder? D.h. [mm]\Psi(32)=7[/mm]
Muesste passen.
> Und für [mm]1500=2^2+3+5^3[/mm] benutze ich (iii) und weiß:
> [mm]\Psi(1500)[/mm] = [mm]2*1*\Psi(125).[/mm]
> Letzteres bestimme ich mit den Isomorphien:
> [mm]C_{125}, C_{25}\times C_5, C_5^3.[/mm] Das sind nur 3, wenn ich
> keine vergessen habe. Also [mm]\Psi(1500)[/mm] =2*1*3=6
Ich denke das passt. (Wenn ich nicht auch was uebersehen hab  )
> Bleibt nur noch Teil (iii). Ich weiß immer noch nicht so
> recht, wie ich das zeigen soll... Ideen?
Hattet ihr den Hauptsatz auch fuer Primzahlpotenzen formuliert? Dann kannst du damit zeigen: Ist $n = [mm] p_1^{e_1} \cdots p_k^{e_k}$ [/mm] mit [mm] $p_1, \dots, p_k$ [/mm] paarweise verschiedene Primzahlen, so ist [mm] $\Phi(n) [/mm] = [mm] \prod_{i=1}^k \Phi(p_i^{e_i})$. [/mm] Und daraus folgt dann sofort das fuer teilerfremde (einfach in Primfaktoren zerlegen).
Ansonsten hast du zwei Moeglichkeiten:
- Du formulierst den Hautpsatz selber auf Primzahlpotenzen um (dazu brauchst du den Chinesischen Restsatz, fuer [mm] $C_{n m} \cong C_n \times C_m$ [/mm] falls $n, m$ teilerfremd).
- Du beweist die Aussage direkt und verwendest dabei auch den Chinesischen Restsatz.
Wenn du die Formulierung mit den Primzahlpotenzen nicht hast:
Zu jeder endlichen abelschen Gruppe $G$ gibt es eindeutig bestimmte Primzahlen [mm] $p_1 [/mm] < [mm] \dots [/mm] < [mm] p_k$ [/mm] und eindeutig bestimmte natuerliche Zahlen $1 [mm] \le e_{11} \le \dots \le e_{1 i_1}$, $\dots$, [/mm] $1 [mm] \le e_{k 1} \le \dots \le e_{k i_k}$ [/mm] mit $G [mm] \cong (C_{p_1^{e_{1 1}}} \times \dots \times C_{p_1^{e_{1 i_1}}}) \times \dots \times (C_{p_k^{e_{k 1}}} \times \dots \times C_{p_k^{e_{k i_k}}})$.
[/mm]
LG Felix
|
|
|
|
