Isomorphiesätze < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:38 So 19.11.2006 | | Autor: | Kiki3000 |
| Aufgabe | Sei N Normalteiler von G und H eine endliche Untergruppe von G. Weiterhin gilte [G : N]< [mm] \infty [/mm] und ([G : N] , |H|) =1.
Zeigen Sie: H ist eine Untergruppe von N. |
Hallo!
Ich glaube, wir sollen darauf irgendwie die Isomorphiesätze anwenden. Aber irgendwie hab ich das Gefühl, es passt keiner...
Außerdem weiß ich leider überhaupt nicht was ([G : N] , |H|) =1 bedeutet. Ich vermute mal ggT? Dann wären der Index [G:N] und |H| teilerfremd.
Aber das hilft mir leider auch gar nicht, ich komme nicht mal auf nen Ansatz - ganz schön frustrierend...
Ich hoffe, mir kann jemand helfen & bedanke mich dafür auch schonmal.
Lg Kiki
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:34 So 19.11.2006 | | Autor: | Hanno |
Hallo Kiki!
Ja, die Isomorphiesätze sind hier hilfreich. Versuche es einmal mit der folgenden Isomorphie: [mm] $H\cdot [/mm] N / N [mm] \cong [/mm] H / [mm] (H\cap [/mm] N)$. Ist dir klar, wie man auf sie kommt bzw. welcher Isomorphiesatz hier zu Grunde liegt? Wenn du so weit bist, dann betrachte die Ordnungen der Gruppen auf den beiden Seiten. Bedenke dabei, dass [mm] $H\cdot [/mm] N / N$ eine Untergruppe von $G/N$ und [mm] $H\cap [/mm] N$ eine Untergruppe von $H$ ist. Was weißt du über die Ordnung von Untergruppen endlicher Gruppen? Wenn dir spontan nichts einfällt, dann schau dir nochmal den Satz von Lagrange an.
Versuch's mal! Und bitte nicht zu frustriert sein - das bringt nie etwas..
Liebe Grüße,
Hanno
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Erstmal danke für deine schnelle Hilfe.
> Hallo Kiki!
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> Ja, die Isomorphiesätze sind hier hilfreich. Versuche es
> einmal mit der folgenden Isomorphie: [mm]H\cdot N / N \cong H / (H\cap N)[/mm].
> Ist dir klar, wie man auf sie kommt bzw. welcher
> Isomorphiesatz hier zu Grunde liegt?
Ich hab jetzt nochmal in meinem Vorlesungs-Skript geguckt und festgestellt, dass es sich wohl um den bei uns benannten 2. Isomorphiesatz handelt. Darüber hinaus kann man laut Skript noch sagen, dass gilt: H/(H [mm] \cap [/mm] N) [mm] \cong [/mm] K*N / N
> Wenn du so weit bist,
> dann betrachte die Ordnungen der Gruppen auf den beiden
> Seiten. Bedenke dabei, dass [mm]H\cdot N / N[/mm] eine Untergruppe
> von [mm]G/N[/mm] und [mm]H\cap N[/mm] eine Untergruppe von [mm]H[/mm] ist. Was weißt
> du über die Ordnung von Untergruppen endlicher Gruppen?
> Wenn dir spontan nichts einfällt, dann schau dir nochmal
> den Satz von Lagrange an.
Dazu hab ich jetzt folgendes gemacht: Wenn HN/N [mm] \le [/mm] G/N ist, muss nach Lagrange gelten |HN/N| teilt |G/N| und weil beide modulo N sind, muss auch gelten |HN| teilt |G|, oder?
Desweiteren ist ja H [mm] \cap [/mm] N [mm] \le [/mm] H, also gilt: |H [mm] \cap [/mm] N| teilt |H|. Außerdem ist H [mm] \le [/mm] G, also teilt |H| |G| und man könnte |H| darstellen als: |H| = [G:H] * |G|.
Außerdem ist N ein NT von G. Also ist N auch UGruppe von G. Es gilt also: |N|=[G:N]*|G|.
Vielleicht kann man das da erstmal irgendwo einbauen:
Dazu ist zunächst die Behauptung zu betrachten:
Beh: H [mm] \le [/mm] N.
Wie ist das mit Lagrange, das gilt doch nur für Untergruppen, oder?
Dann müsste man vielleicht einfach eine Darstellung finden mit |H|=[N:H] * |N|.
Man setzt also mal ein:
Für [mm] HN\le [/mm] H G gilt also: |HN|=[G:HN] * |G|
und für H [mm] \cap [/mm] N [mm] \le [/mm] H gilt: |H [mm] \cap [/mm] N| = [H: H [mm] \cap [/mm] N] * |H|
Ich weiß nicht, vielleicht bin ich auf dem falschen Dampfer, aber ich komm irgendwie nicht weiter an dieser stelle...
Wäre super, wenn mir mal jemand eine kurze Hilfestellung geben könnte, damit ich weiterkomme.
Vielen Dank schonmal
Kiki
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:20 Di 21.11.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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