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| Aufgabe | Sei H Untergruppe von G und N Normalteiler von G. Dann gilt:
[mm] H/(H\cap N)\cong [/mm] HN/N
"/" bedeutet Linksnebenklasse und HN={ hn| h aus H und n aus N } |
Hallo zusammen. Der Beweis interessiert mich nicht, den kenne ich schon. Was ich nicht verstehe ist folgendes:
Ist denn HN/N nicht das selbe wie H/N ?
Ich kann das doch einfach so schreiben: ich nehme mal ein x aus HN/N mit
x=hnN
={ [mm] hnp|p\in [/mm] N und hn fest}
={hr| r=np [mm] \in [/mm] N}
=hN
andersrum geht es doch genau so.. also hn*N=h*N bzw. HN/N=H/N. Das gilt doch alles wegen dem Assoziativgesetz.
Irgendwas muss ich ja falsch verstanden haben, ich komme nur nicht drauf. Vielleicht könnte mir das jmd bestätigen, oder sagen, wieso es nicht das selbe ist.
Ansonsten noch ein paar fröhliche Weihnachtstage,
Grüße kulli
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:16 Di 25.12.2012 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Das Problem ist, dass du einen Quotienten G/H nur bilden kannst, wenn H Normalteiler in G ist. Nun ist N immer ein Normalteiler in HN, aber nicht unbedingt nur in H. Vielleicht liegen in N sogar Elemente, die nicht in H liegen, d.h. N ist nicht einmal Untergruppe von H z.B. mit [mm] H=\{0\} [/mm] und N=G.
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Ok verstehe.. mir war gar nicht klar, dass N Quotient von HN sein muss damit die Isomorphie gilt. Aber das gehört ja alles zu diesem zweiten Satz dazu.
Vielen Dank!
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