Isomorphietypen von endl Gr. < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Isomorphietypen von endlichen Gruppen der Ordnung $n [mm] \in \IN$ [/mm] sind gegeben durch eine Menge von Gruppen, so dass jede Gruppe der Ordnung n zu genau einer Gruppe aus der Menge isomorph ist.
a) Geben Sie jeweils Isomorphietypen aller Gruppen der Ordnungen 1 bis 7 an.
b) Bestimmen Sie Isomorphietypen aller Gruppen der Ordnung 69.
c) Bestimmen Sie Isomorphietypen aller abelschen Gruppen der Ordnung 120.
d) Bestimmen Sie Isomorphietypen aller abelschen Gruppen der Ordnung 625. |
Hallo, könntet ihr mal vielleicht kurz drüberschauen und sagen, ob das alles so stimmt?
a)
1: ${e}$
2: [mm] ${\IZ / 2\IZ}$
[/mm]
3: [mm] ${\IZ / 3\IZ}$
[/mm]
4: [mm] ${\IZ / 4\IZ}$ [/mm] oder noch zusätzlich [mm] ${\IZ / 2\IZ \oplus \IZ / 2\IZ}$
[/mm]
5: [mm] ${\IZ / 5\IZ}$
[/mm]
6: [mm] ${\IZ / 6\IZ}$ [/mm] Wo bei ich hier nicht sicher bin. Ich hab mir folgendes gedacht: Eine Gruppe von Ordnung 3 ist ja eine 2- oder 3- Sylowgruppe. Nun teilt 3 nicht (2-1)=1 [mm] $\Rightarrow$ [/mm] Die Gruppe ist isomorph zu [mm] $\IZ [/mm] / [mm] pq\IZ$ [/mm] also [mm] $\IZ [/mm] / [mm] 6\IZ$
[/mm]
7: [mm] ${\IZ / 7\IZ}$
[/mm]
b)
$69 = 23 * 3$ also eine Sylowgruppe.
23 teilt nicht 3-1 = 2 [mm] $\Rightarrow$ [/mm] G ist zyklisch [mm] $\Rightarrow$ [/mm] G ist isomorph zu [mm] $\IZ [/mm] / 69 [mm] \IZ$ [/mm]
c)
$120 = [mm] 2^3 [/mm] * 5$
Dann ist $G$ eine direkte Summe von zyklischen Gruppen, deren Ordnung $|G|$ teilt und Potenz einer Primzahl sind.
[mm] $\Rightarrow \IZ [/mm] / [mm] 2^3\IZ \oplus \IZ [/mm] / [mm] 5\IZ, [/mm] $
$ [mm] \IZ [/mm] / [mm] 2^2\IZ \oplus \IZ [/mm] / [mm] 2\IZ \oplus \IZ [/mm] / [mm] 5\IZ,$
[/mm]
[mm] $\IZ [/mm] / [mm] 2\IZ \oplus \IZ [/mm] / [mm] 2\IZ \oplus \IZ [/mm] / [mm] 2\IZ \oplus \IZ [/mm] / [mm] 5\IZ$
[/mm]
d)
$625 = [mm] 5^4$
[/mm]
Mit der selben Begründung wie in c):
[mm] $\IZ [/mm] / [mm] 5^4\IZ [/mm] ,$
[mm] $\IZ [/mm] / [mm] 5^3\IZ \oplus \IZ [/mm] / [mm] 5\IZ,$
[/mm]
[mm] $\IZ [/mm] / [mm] 5^2\IZ \oplus \IZ [/mm] / [mm] 5^2\IZ,$
[/mm]
[mm] $\IZ [/mm] / [mm] 5\IZ \oplus \IZ [/mm] / [mm] 5\IZ \oplus \IZ [/mm] / [mm] 5\IZ \oplus \IZ [/mm] / [mm] 5\IZ$
[/mm]
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:14 Do 11.08.2011 | | Autor: | hippias |
> 4: [mm]{\IZ / 4\IZ}[/mm] oder
> noch zusätzlich [mm]{\IZ / 2\IZ \oplus \IZ / 2\IZ}[/mm]
Auf keinen Fall vergessen!
>
> 6: [mm]{\IZ / 6\IZ}[/mm] Wo bei ich hier nicht sicher bin. Ich hab
> mir folgendes gedacht: Eine Gruppe von Ordnung 3 ist ja
> eine 2- oder 3- Sylowgruppe. Nun teilt 3 nicht (2-1)=1
> [mm]\Rightarrow[/mm] Die Gruppe ist isomorph zu [mm]\IZ / pq\IZ[/mm] also [mm]\IZ / 6\IZ[/mm]
>
Sind überhaupt alle Gruppen der Ordnung 6 abelsch? Vermutlich nicht ...
> c)
> [mm]120 = 2^3 * 5[/mm]
> Dann ist [mm]G[/mm] eine direkte Summe von
> zyklischen Gruppen, deren Ordnung [mm]|G|[/mm] teilt und Potenz
> einer Primzahl sind.
> [mm]\Rightarrow \IZ / 2^3\IZ \oplus \IZ / 5\IZ,[/mm]
> [mm]\IZ / 2^2\IZ \oplus \IZ / 2\IZ \oplus \IZ / 5\IZ,[/mm]
>
> [mm]\IZ / 2\IZ \oplus \IZ / 2\IZ \oplus \IZ / 2\IZ \oplus \IZ / 5\IZ[/mm]
>
Ich glaube 1 (trivialer) Isomorohietyp fehlt hier.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:47 Do 11.08.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> > 6: [mm]{\IZ / 6\IZ}[/mm] Wo bei ich hier nicht sicher bin. Ich hab
> > mir folgendes gedacht: Eine Gruppe von Ordnung 3 ist ja
> > eine 2- oder 3- Sylowgruppe. Nun teilt 3 nicht (2-1)=1
> > [mm]\Rightarrow[/mm] Die Gruppe ist isomorph zu [mm]\IZ / pq\IZ[/mm] also [mm]\IZ / 6\IZ[/mm]
>
> Sind überhaupt alle Gruppen der Ordnung 6 abelsch?
> Vermutlich nicht ...
Nein, es gibt eine nicht-abelsche.
> > c)
> > [mm]120 = 2^3 * 5[/mm]
> > Dann ist [mm]G[/mm] eine direkte Summe von
> > zyklischen Gruppen, deren Ordnung [mm]|G|[/mm] teilt und Potenz
> > einer Primzahl sind.
> > [mm]\Rightarrow \IZ / 2^3\IZ \oplus \IZ / 5\IZ,[/mm]
> > [mm]\IZ / 2^2\IZ \oplus \IZ / 2\IZ \oplus \IZ / 5\IZ,[/mm]
>
> >
> > [mm]\IZ / 2\IZ \oplus \IZ / 2\IZ \oplus \IZ / 2\IZ \oplus \IZ / 5\IZ[/mm]
>
> Ich glaube 1 (trivialer) Isomorohietyp fehlt hier.
Wenn alle Gruppen der Ordnung 120 abelsch sind, fehlt hier keine in der Auflistung. Wenn du [mm] $\IZ/120\IZ$ [/mm] meinst: die ist isomorph zu [mm] $\IZ/2^3\IZ \times \IZ/5\IZ$, [/mm] da 5 und [mm] $2^3$ [/mm] teilerfremd sind.
LG Felix
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:05 Fr 12.08.2011 | | Autor: | hippias |
> > Ich glaube 1 (trivialer) Isomorohietyp fehlt hier.
>
> Wenn alle Gruppen der Ordnung 120 abelsch sind, fehlt hier
> keine in der Auflistung. Wenn du [mm]\IZ/120\IZ[/mm] meinst: die ist
> isomorph zu [mm]\IZ/2^3\IZ \times \IZ/5\IZ[/mm], da 5 und [mm]2^3[/mm]
> teilerfremd sind.
>
> LG Felix
>
Tüdelüt! Du hast natürlich völlig recht.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:01 Do 11.08.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Isomorphietypen von endlichen Gruppen der Ordnung [mm]n \in \IN[/mm]
> sind gegeben durch eine Menge von Gruppen, so dass jede
> Gruppe der Ordnung n zu genau einer Gruppe aus der Menge
> isomorph ist.
>
> a) Geben Sie jeweils Isomorphietypen aller Gruppen der
> Ordnungen 1 bis 7 an.
>
> b) Bestimmen Sie Isomorphietypen aller Gruppen der Ordnung
> 69.
> c) Bestimmen Sie Isomorphietypen aller abelschen Gruppen
> der Ordnung 120.
> d) Bestimmen Sie Isomorphietypen aller abelschen Gruppen
> der Ordnung 625.
> Hallo, könntet ihr mal vielleicht kurz drüberschauen und
> sagen, ob das alles so stimmt?
>
> a)
> 1: [mm]{e}[/mm]
> 2: [mm]{\IZ / 2\IZ}[/mm]
> 3: [mm]{\IZ / 3\IZ}[/mm]
> 4: [mm]{\IZ / 4\IZ}[/mm] oder
> noch zusätzlich [mm]{\IZ / 2\IZ \oplus \IZ / 2\IZ}[/mm]
> 5: [mm]{\IZ / 5\IZ}[/mm]
>
> 6: [mm]{\IZ / 6\IZ}[/mm] Wo bei ich hier nicht sicher bin. Ich hab
> mir folgendes gedacht: Eine Gruppe von Ordnung 3 ist ja
> eine 2- oder 3- Sylowgruppe. Nun teilt 3 nicht (2-1)=1
Eine Gruppe von Ordnung 3 ist eine 3-Sylowgruppe und niemals eine 2-Sylowgruppe.
Tatsaechlich gibt es immer (bei jeder 6-elementigen Gruppe) eine Untergruppe der Ordnung 3 und diese ist immer ein Normalteiler. Trotzdem gibt es eine Gruppe mit 6 Elementen, die nicht abelsch ist.
> [mm]\Rightarrow[/mm] Die Gruppe ist isomorph zu [mm]\IZ / pq\IZ[/mm] also [mm]\IZ / 6\IZ[/mm]
Eben nicht. Dazu brauchst du die gleiche Aussage fuer die 2-Sylow-UG. Die hast du aber nicht.
(In der nicht-abelschen Gruppe gibt es drei 2-Sylowuntergruppen.)
> 7: [mm]{\IZ / 7\IZ}[/mm]
>
> b)
> [mm]69 = 23 * 3[/mm] also eine Sylowgruppe.
Der Satz ergibt so, wie er da steht, in keiner Hinsicht Sinn. Eine Gruppe der Ordnung 69 ist keine Sylowgruppe. Oder redest du von Sylowuntergruppen? Wenn ja, bzgl. welcher Primzahl? Und wieso "eine"? Genau eine? Mindestens eine?
> 23 teilt nicht 3-1 = 2 [mm]\Rightarrow[/mm] G ist zyklisch
Du will hier vermutlich folgenden Satz verwenden: "Ist $|G| = p q$ mit zwei Primzahlen $p < q$, und gilt $p [mm] \nmid [/mm] (q - 1)$, so ist $G$ zyklisch."
Dazu musst du aber schauen, ob $3$ nicht $23 - 1$ teilt. Du musst den Satz von richtig anwenden!
> [mm]\Rightarrow[/mm] G ist isomorph zu [mm]\IZ / 69 \IZ[/mm]
>
> c)
> [mm]120 = 2^3 * 5[/mm]
> Dann ist [mm]G[/mm] eine direkte Summe von
> zyklischen Gruppen, deren Ordnung [mm]|G|[/mm] teilt und Potenz
> einer Primzahl sind.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> [mm]\Rightarrow \IZ / 2^3\IZ \oplus \IZ / 5\IZ,[/mm]
> [mm]\IZ / 2^2\IZ \oplus \IZ / 2\IZ \oplus \IZ / 5\IZ,[/mm]
>
> [mm]\IZ / 2\IZ \oplus \IZ / 2\IZ \oplus \IZ / 2\IZ \oplus \IZ / 5\IZ[/mm]
> d)
> [mm]625 = 5^4[/mm]
> Mit der selben Begründung wie in c):
> [mm]\IZ / 5^4\IZ ,[/mm]
> [mm]\IZ / 5^3\IZ \oplus \IZ / 5\IZ,[/mm]
> [mm]\IZ / 5^2\IZ \oplus \IZ / 5^2\IZ,[/mm]
>
> [mm]\IZ / 5\IZ \oplus \IZ / 5\IZ \oplus \IZ / 5\IZ \oplus \IZ / 5\IZ[/mm]
Hier fehlt noch ein Typ (2+1+1).
LG Felix
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Danke für eure Antworten :)
Puh, Algebra ist wirklich nicht ohne..
Ich verstehe jedoch nicht, wieso eine Gruppe mit Ordnung 69 keine Sylowgruppe ist.
69 lässt sich doch in 23 und 3 zerlegen und beide sind Primzahlen, also teilerfremd?
Kann eine Gruppe denn eigentlich eine p-Sylowgruppe sein und gleichzeitig eine q-Sylowgruppe? Ich meine, eine passende Ordnung lässt sich ja bestimmt konstruieren.
Lg
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:40 Do 11.08.2011 | | Autor: | felixf |
Moni!
> Ich verstehe jedoch nicht, wieso eine Gruppe mit Ordnung 69
> keine Sylowgruppe ist.
Eine Sylowgruppe hat [mm] $p^n$ [/mm] Elemente fuer eine Primzahl $p$ und eine natuerliche Zahl $n$. 69 ist das Produkt zweier verschiedener Primzahlen, und wegen der Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung damit keine Primzahlpotenz!
> Kann eine Gruppe denn eigentlich eine p-Sylowgruppe sein
> und gleichzeitig eine q-Sylowgruppe? Ich meine, eine
Nein. Das liegt an der Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung. Aus [mm] $p^n [/mm] = [mm] q^m$ [/mm] mit Primzahlen $p, q$ folgt $p = q$ und $n = m$.
LG Felix
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Achso! Scheinbar verwechsle ich da was.
Ich dachte Sylowgruppen wären Gruppen mit Ordnung [mm] $p^n [/mm] * q$, also die Gruppen, auf denen man die Sylowsätze anwenden kann.
Und Sylow-Untergruppen wären dann Untergruppen mit Ordnung [mm] $p^n$.
[/mm]
So betrachtet ist die eigentliche Definition natürlich konsistenter, da nach meiner falschen Idee wären Sylow-Untergruppen keine Sylowgruppen.
Danke schön!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:35 Do 11.08.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Achso! Scheinbar verwechsle ich da was.
> Ich dachte Sylowgruppen wären Gruppen mit Ordnung [mm]p^n * q[/mm],
> also die Gruppen, auf denen man die Sylowsätze anwenden
> kann.
Du kannst die Sylow-Saetze auf alle endlichen Gruppen anwenden.
Mit Sylowgruppe meint man meist Sylowuntergruppe (bzgl. einer speziellen Primzahl), und solche (Unter-)Gruppen haben Primpotenzordnung.
> Und Sylow-Untergruppen wären dann Untergruppen mit
> Ordnung [mm]p^n[/mm].
Manchmal sagt man zu den Sylow-Untergruppen auch einfach Sylow-Gruppen.
> So betrachtet ist die eigentliche Definition natürlich
> konsistenter, da nach meiner falschen Idee wären
> Sylow-Untergruppen keine Sylowgruppen.
Doch, mit $q = 1$.
LG Felix
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