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Isomorphimus: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 08:54 Do 18.08.2016
Autor: Heatshawk

Hallo Leute, ich habe eine Frage. Folgendes ist gegeben:

Zwei "Strukturen" [mm] (A,\cdot) [/mm] und [mm] (B,\cdot) [/mm] und ein stetiger Isomorphimus zwischen den beiden. Des Weiteren weiß ich, dass [mm] (A,\cdot) [/mm] eine Gruppe ist und dass B kompakt ist.

Die Fragen sind:
Folgt daraus, dass [mm] (B,\cdot) [/mm] ebenfalls Gruppe ist?
Dies sollte ich geschafft haben und bin zu dem Ergebnis gekommen, dass es in der Tat eine Gruppe ist.

Die Schwierigkeit liegt bei der nächsten Frage:
Kann man aus den Angaben schließen, dass auch A kompakt ist oder fällt jemandem auf die schnelle ein Gegenbeispiel ein?

Für eure Hilfe wäre ich sehr dankbar!

        
Bezug
Isomorphimus: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:18 Do 18.08.2016
Autor: Al-Chwarizmi


> Hallo Leute, ich habe eine Frage. Folgendes ist gegeben:
>  
> Zwei "Strukturen" [mm](A,\cdot)[/mm] und [mm](B,\cdot)[/mm] und ein stetiger
> Isomorphimus zwischen den beiden. Des Weiteren weiß ich,
> dass [mm](A,\cdot)[/mm] eine Gruppe ist und dass B kompakt ist.
>  
> Die Fragen sind:
>  Folgt daraus, dass [mm](B,\cdot)[/mm] ebenfalls Gruppe ist?
>  Dies sollte ich geschafft haben und bin zu dem Ergebnis
> gekommen, dass es in der Tat eine Gruppe ist.
>  
> Die Schwierigkeit liegt bei der nächsten Frage:
>  Kann man aus den Angaben schließen, dass auch A kompakt
> ist oder fällt jemandem auf die schnelle ein Gegenbeispiel
> ein?
>
> Für eure Hilfe wäre ich sehr dankbar!


Guten Tag Heatshawk,

du hast hier offenbar zwei Dinge zu berücksichtigen:
einerseits die multiplikativen Operationen auf den beiden
Mengen und zweitens eine Topologie (andernfalls könnte
man nicht von Stetigkeit sprechen).
Nun ist die Frage, was denn nun genau mit "Isomorphismus"
gemeint sein soll. Dieser könnte sich allenfalls nur auf die
multiplikative Struktur beziehen. Aus der Existenz eines
mit der multiplikativen Struktur verträglichen Isomorphismus
zwischen A und B folgt dann selbstverständlich, dass auch B
eine Gruppe sein muss.
Die je auf A und B existierenden Topologien müssten aber
deswegen noch nicht isomorph sein, falls dies nicht explizit
in dem gegebenen Isomorphiebegriff verlangt wird.

Falls dies so ist, also die Isomorphie sich von vornherein auch
auf die topologische Struktur beziehen soll, folgt aus der
Kompaktheit von B dann auch die Kompaktheit von A.

Bezieht sich aber die Isomorphie erstmal nur auf die
multiplikativen Strukturen, so kann man ein ganz einfaches
Gegenbeispiel machen, indem man der Menge B die []triviale
Topologie
gibt. Eine Abbildung von einer beliebigen
Menge A nach B ist dann automatisch auch stetig, und B ist
bezüglich dieser Topologie kompakt. Man kann aber aus den
topologischen Eigenschaften von B nicht auf solche von A
schließen.

LG  ,   Al-Chwarizmi




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