Isomorphismen < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:52 So 30.11.2014 | | Autor: | TomTom2 |
| Aufgabe | Man zeige:
L: Mat(m [mm] \times [/mm] n, K) [mm] \to Hom_{K} (K^{m},K^{n}) [/mm] ist ein Isomorphismus von K-Vektorräumen. |
Guten Tag,
bei mir hapert es leider etwas bei der Lösung der obigen Aufgabe. Zunächst erst einmal dazu, was ich bisher habe:
Zu zeigen ist ja, dass die gegebene Abbildung L (Matrix-Vektor-Produkt nennt man das glaube ich) ein Isomorphismus ist.
Laut meines Skriptes ist eine Abbildung dann isomorph, wenn die Abbildung K-linear und zudem noch bijektiv ist.
K-Linearität habe ich gezeigt durch:
L(A)(x+y)
= [mm] \summe_{a=1}^{n} A_{ia}*(x_{a} [/mm] + [mm] y_{a})
[/mm]
= [mm] \summe_{a=1}^{n} A_{ia}*x_{a} [/mm] + [mm] A_{ia}*y_{a}
[/mm]
= [mm] \summe_{a=1}^{n} A_{ia}*x_{a} [/mm] + [mm] \summe_{a=1}^{n} A_{ia}*y_{a}
[/mm]
= L(A)(x) + L(A)(y)
[mm] L(A)(\lambda*x) [/mm]
= [mm] \summe_{a=1}^{n} A_{ia}*(\lambda*x_{a})
[/mm]
= [mm] \summe_{a=1}^{n} \lambda*A_{ia}*(x_{a})
[/mm]
= [mm] \lambda [/mm] * [mm] \summe_{a=1}^{n} A_{ia}*(x_{a})
[/mm]
= [mm] \lambda [/mm] * L(A)(x)
Soweit bin ich bisher. Bei dem Lösungsweg eben bin ich mir nich 100% sicher, ob ich das so machen kann, weil ich ja stets im 1. Schritt benutze, dass die Multiplikation von Matrix und Vektor lienar ist, weil ich ja annehme, dass:
= [mm] \summe_{a=1}^{n} A_{ia}*(x_{a} [/mm] + [mm] y_{a})
[/mm]
= [mm] \summe_{a=1}^{n} A_{ia}*x_{a} [/mm] + [mm] A_{ia}*y_{a}
[/mm]
das selbe ist. Darf man das dennoch so machen?
Dann zum zweiten Teil der Aufgabe. Ich muss zeigen, dass diese K-lineare Abbildung bijektiv, also injektiv und surjektiv ist.
Ich habe mich bereits etwas im Internet und auch hier im Forum belesen und auch einiges dazu gefunden, so zum Beispiel aus einem Thread dieser Seite:
1. Bild f = W [mm] \gdw [/mm] f ist surjektiv
2. Kern f = [mm] {0_V} \gdw [/mm] f ist injektiv
Im selben Thread kamen Wörter wie Ränge einer Matrix oder Dimensionsformel auf, die ich zwar inzwischen verstanden habe, die allerdings in unserer Vorlesung bisher nicht vorkamen und ich mich dadurch etwas sträube, diese zu benutzen. Gibt es vielleicht noch einen anderen Weg?
Ich habe schon versucht herauszufinden, ob es einen Zusammenhang zwischen K-Linearität der Abbildung und Injektivität/Surjektivität gibt, jedoch konnte ich bisher leider nichts finden.
Ich hoffe, einer von Euch kann mir helfen.
Liebe Grüße
Tom
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:14 So 30.11.2014 | | Autor: | TomTom2 |
Es findet sich wirklich keiner, der mir wenigstens einen kleinen Tipp geben kann? Ich bin langsam am verzweifeln :(
Liebe Grüße
Tom
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:11 Mo 01.12.2014 | | Autor: | fred97 |
Du hast die Aufgabe nicht verstanden !
Für $A [mm] \in [/mm] Mat(m $ [mm] \times [/mm] $ n, K)$ ist die Abbildung $L(A) [mm] \in Hom_{K} (K^{m},K^{n}) [/mm] $ wie folgt definiert:
$L(A)x:=Ax$
Zeigen sollst Du die Linearität von L, also
[mm] $L(\alpha [/mm] A + [mm] \beta B)=\alpha [/mm] L(A)+ [mm] \beta [/mm] L(B)$ für [mm] \alpha, \beta \in [/mm] K und $A,B [mm] \in [/mm] Mat(m $ [mm] \times [/mm] $ n, K)$
Weiter sollst Du die Bijektivität von L zeigen.
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:06 Mo 01.12.2014 | | Autor: | tobit09 |
Hallo TomTom2 und herzlich ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !
> Man zeige:
>
> L: Mat(m [mm]\times[/mm] n, K) [mm]\to Hom_{K} (K^{m},K^{n})[/mm] ist ein
> Isomorphismus von K-Vektorräumen.
Da sind irgendwo m und n vertauscht.
Ich gehe jetzt mal von [mm] $L\colon Mat(m\times n,K)\to Hom_K(K^\red{n},K^\red{m})$ [/mm] aus.
> K-Linearität habe ich gezeigt durch:
Du versuchst, die K-Linearität von $L(A)$ zu zeigen (für beliebig vorgegebenes [mm] $A\in Mat(m\times [/mm] n,K)$).
Diese $K$-Linearität ist notwendig, damit $L(A)$ überhaupt ein Element von [mm] $Hom_{K} (K^{n},K^{m})$ [/mm] ist.
Darüber hinaus ist wie von Fred angemerkt die K-Linearität der Abbildung $L$ zu zeigen.
> L(A)(x+y)
>
> = [mm]\summe_{a=1}^{n} A_{ia}*(x_{a}[/mm] + [mm]y_{a})[/mm]
Dieser Term gibt die i-te Komponente von $L(A)(x+y)$ an, nicht den gesamten Vektor $L(A)(x+y)$.
> = [mm]\summe_{a=1}^{n} A_{ia}*x_{a}[/mm] + [mm]A_{ia}*y_{a}[/mm]
> = [mm]\summe_{a=1}^{n} A_{ia}*x_{a}[/mm] + [mm]\summe_{a=1}^{n} A_{ia}*y_{a}[/mm]
> = L(A)(x) + L(A)(y)
Bis auf die äußeren Gleichheiten stimmt die Rechnung.
> [mm]L(A)(\lambda*x)[/mm]
>
> = [mm]\summe_{a=1}^{n} A_{ia}*(\lambda*x_{a})[/mm]
> =
> [mm]\summe_{a=1}^{n} \lambda*A_{ia}*(x_{a})[/mm]
> = [mm]\lambda[/mm] *
> [mm]\summe_{a=1}^{n} A_{ia}*(x_{a})[/mm]
>
> = [mm]\lambda[/mm] * L(A)(x)
Hier gilt Analoges.
> Soweit bin ich bisher. Bei dem Lösungsweg eben bin ich mir
> nich 100% sicher, ob ich das so machen kann, weil ich ja
> stets im 1. Schritt benutze, dass die Multiplikation von
> Matrix und Vektor lienar ist, weil ich ja annehme, dass:
>
> = [mm]\summe_{a=1}^{n} A_{ia}*(x_{a}[/mm] + [mm]y_{a})[/mm]
> = [mm]\summe_{a=1}^{n} A_{ia}*x_{a}[/mm] + [mm]A_{ia}*y_{a}[/mm]
>
> das selbe ist. Darf man das dennoch so machen?
Hier nutzt du einfach das Distributivgesetz im Körper K.
Ganze Matrizen und Vektoren tauchen in diesen beiden Zeilen gar nicht auf, sondern nur Skalare (nämlich einzelne Komponenten der Matrix A bzw. der Vektoren x und y).
> Dann zum zweiten Teil der Aufgabe. Ich muss zeigen, dass
> diese K-lineare Abbildung bijektiv, also injektiv und
> surjektiv ist.
>
> Ich habe mich bereits etwas im Internet und auch hier im
> Forum belesen und auch einiges dazu gefunden, so zum
> Beispiel aus einem Thread dieser Seite:
>
> 1. Bild f = W [mm]\gdw[/mm] f ist surjektiv
> 2. Kern f = [mm]{0_V} \gdw[/mm] f ist injektiv
>
> Im selben Thread kamen Wörter wie Ränge einer Matrix oder
> Dimensionsformel auf, die ich zwar inzwischen verstanden
> habe, die allerdings in unserer Vorlesung bisher nicht
> vorkamen und ich mich dadurch etwas sträube, diese zu
> benutzen. Gibt es vielleicht noch einen anderen Weg?
Ja. Verwende die Definitionen von injektiv und surjektiv.
Was bedeutet "L ist injektiv" und was bedeutet "L ist surjektiv"?
> Ich habe schon versucht herauszufinden, ob es einen
> Zusammenhang zwischen K-Linearität der Abbildung und
> Injektivität/Surjektivität gibt, jedoch konnte ich bisher
> leider nichts finden.
Da gibt es keinen direkten Zusammenhang in dem Sinne, dass K-Linearität Injektivität oder Surjektivität impliziere oder umgekehrt.
Eine nützliche Beobachtung für beide Nachweise (Injektivität und Surjektivität):
Die j-te Spalte von [mm] $A\in Mat(m\times [/mm] n,K)$ (für [mm] $j=1,\ldots,n$) [/mm] entspricht gerade dem Bild des j-ten Einheitsvektors [mm] $e_j\in K^n$ [/mm] unter der Abbildung $L(A)$.
D.h. wenn wir die j-te Spalte von $A$ mit [mm] $A_{\cdot j}\in K^m$ [/mm] bezeichnen gilt
[mm] $A_{\cdot j}=[L(A)](e_j)$.
[/mm]
Rechne zum Nachweis die rechte Seite aus.
(Mit dem Kronecker-Delta notiert gilt [mm] $e_j=(\delta_{ij})_{i=1,\ldots,n}.)
[/mm]
Dieser Zusammenhang ermöglicht dir, aus einem gegebenen [mm] $L(A)\in Hom(K^n,K^m)$ [/mm] die einzelnen Spalten der Matrix $A$ (und somit die gesamte Matrix A) zurückzugewinnen.
Viele Grüße
Tobias
|
|
|
|
