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(Frage) für Interessierte  | | Datum: | 14:11 Do 29.05.2008 | | Autor: | Gnometech |
| Aufgabe | Sei $C$ eine Kategorie. Dann erhält man eine neue Kategorie [mm] $\IZ[C]$, [/mm] welche die gleichen Objekte wie $C$ besitzt und anstelle der Morphismen betrachtet man die freie abelsche Gruppe über jeder Morphismenmenge, also
[mm] $\mbox{Hom}_{\IZ[C]}(x,y) [/mm] = [mm] \IZ[\mbox{Hom}_C(x,y)]$
[/mm]
für Objekte $x,y$ in $C$.
Frage: falls zwei Objekte $x$ und $y$ in [mm] $\IZ[C]$ [/mm] isomorph sind, sind sie es dann auch schon in $C$? |
Grüße an alle!
Das oben ist die Fragestellung, die mich interessiert. Ich kann mir eigentlich nicht vorstellen, dass die Antwort positiv ist, mir ist aber bislang auch noch kein schönes Gegenbeispiel eingefallen.
Dazu die Überlegung: Angenommen $x$ und $y$ sind in [mm] $\IZ[C]$ [/mm] isomorph, es gibt also Morphismen $f : x [mm] \to [/mm] y$ und $g: y [mm] \to [/mm] x$ (in [mm] $\IZ[C]$) [/mm] mit $f [mm] \circ [/mm] g = [mm] \mbox{id}_y$ [/mm] und $g [mm] \circ [/mm] f = [mm] \mbox{id}_x$.
[/mm]
Weiter ist $f = [mm] \sum_i \alpha_i f_i$ [/mm] für [mm] $\alpha_i \in \IZ$ [/mm] und [mm] $f_i$ [/mm] Morphismen von $x$ nach $y$ in $C$ und ebenso $g = [mm] \sum_j \beta_j g_j$.
[/mm]
Es folgt:
$f [mm] \circ [/mm] g = [mm] \sum_{i,j} \alpha_i \beta_j (f_i \circ g_j) [/mm] = [mm] \mbox{id}_y$
[/mm]
und Koeffizientenvergleich liefert, dass zumindest für ein spezielles Paar [mm] $f_i, g_j$ [/mm] gelten muss [mm] $f_i \circ g_j [/mm] = [mm] \mbox{id}_y$. [/mm] Umgekehrt ebenso für $g [mm] \circ [/mm] f$, allerdings muss das Paar nicht das Gleiche sein.
Nun ist es in einigen Kategorien (Mengen, Körper, ...) so, dass die Existenz zweier Monomorphismen zwischen Objekten schon garantiert, dass diese isomorph sind, zum Beispiel bei Mengen. Diese Abbildunge hier sind sogar split monos, haben also einseitige Inverse.
Fällt jemandem ein schönes Beispiel in einer konkreten Kategorie ein, in der zwei nicht-isomorphe Objekte trotzdem solche Abbildungen zulassen, die einseitig invertierbar sind?
Danke fürs Lesen. 
Gruß,
Lars
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