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| Aufgabe 1 | | Gesucht sind alle Isomorphismen zwischen [mm] (\IZ_4,+_4) [/mm] und [mm] (\IZ\setminus{0}_5,*_5) [/mm] |
| Aufgabe 2 | | Gesucht sind alle Isomorphismen [mm] zwischen(\IZ_6,+_6) [/mm] und [mm] (\IZ\setminus{0}_7,*_7) [/mm] |
Hallo,
ich komme mit Isomorphismen immer noch nicht so ganz klar. Mag mal jemand über meine Lösungen der Aufgaben gucken und korrigieren?
Aufgabe 1)
Allgemein gilt bei Isomorphismen zwischen Gruppen:
- das neutrale Element der einen wird auf das neutrale Element der anderen Gruppe abgebildet
- Erzeuger der einen werden auf Erzeuger der anderen Gruppe abgebildet
- selbstinverse Elemente der einen werden auf selbstinverse Elemente der anderen Gruppe abgebildet (stimmt das so?).
Konkret gilt in diesem Fall also:
f(0)=1 (neutrales Element)
f(2)=4 (selbstinverse Elemente)
für die Erzeuger gibt es zwei Möglichkeiten:
a) f(1)=2 und f(3)=3 und
b) f(1)=3 und f(3)=2.
Es gibt also die folgenden zwei Isomorphismen zwischen den beiden Gruppen:
a) f(0)=1
f(1)=2
f(2)=4
f(3)=3
b)f(0)=1
f(1)=3
f(2)=4
f(3)=2
Stimmt das so? Wenn man die Abbildungen zwischen den Gruppen so konstruiert hat, erfüllen sie damit automatisch die Strukturerhaltung f(x*y)=f(x)*f(y) oder muss ich das noch gesondert zeigen?
Zu Aufgabe 2: Aus den gleichen Überlegungen wie am Anfang von Aufgabe 1 ergibt sich:
f(0)=1 (neutrales Element)
f(3)=6 (selbstinverse Elemente).
Nun hat jede Gruppe zwei Erzeuger. [mm] (\IZ_6,+_6) [/mm] wird von 1 und 5 erzeugt, [mm] (\IZ\setminus{0}_7,*_7) [/mm] von 3 und 5.
Wir haben also zwei unterschiedliche Möglichkeiten, die Erzeuger auf Erzeuger abzubilden:
a) f(1)=3 und f(5)=5
b) f(1)=5 und f(5)=3.
Nun fehlen noch 2 und 4, für die wir eine Abbildungsvorschrift finden müssen. Dazu benutze ich folgende Eigenschaft:
Für den Erzeuger a mit f(a)=y gilt: [mm] f(a^n)=y^n, [/mm] wobei sich [mm] a^n [/mm] auf die Verknüpfung der ersten Gruppe, [mm] y^n [/mm] auf die Verknüpfung der zweiten Gruppe bezieht. Stimmt diese Eigenschaft allgemein??
Für Möglichkeit a) von oben ergibt sich damit:
[mm] f(2)=f(1^2)=3^2=2 [/mm] und [mm] f(4)=f(1^4)=3^4=4
[/mm]
und für b ergibt sich:
[mm] f(2)=f(1^2)=5^2=4
[/mm]
[mm] f(4)=f(1^4)=5^4=2
[/mm]
Zusammengefasst finden wir also zwei Isomorphismen zwischen [mm] (\IZ_6,+_6) [/mm] und [mm] (\IZ\setminus{0}_7,*_7):
[/mm]
f(0)=1
f(1)=3
f(2)=2
f(3)=6
f(4)=4
f(5)=5
und
f(0)=1
f(1)=5
f(2)=4
f(3)=6
f(4)=2
f(5)=3
Stimmt das soweit?
Vielen vielen Dank für eure Hilfe!
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:06 Mi 12.01.2011 | | Autor: | statler |
Hallo, Mahlzeit!
Das sieht alles gut aus. Da das alles zyklische Gruppen sind, ist der Isom. festgelegt, sobald das Bild eines Erzeugers festgelegt ist. Der gesamte Rest ergibt sich dann aus der Funktionalgleichung (Bild eines Produktes ist Produkt der Bilder).
Gruß aus Harburg
Dieter
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Danke!
Wenn ich deine Antwort richtig verstehe, gilt meine Ausssage: "Für den Erzeuger a mit f(a)=y gilt: $ [mm] f(a^n)=y^n, [/mm] $ wobei sich $ [mm] a^n [/mm] $ auf die Verknüpfung der ersten Gruppe, $ [mm] y^n [/mm] $ auf die Verknüpfung der zweiten Gruppe bezieht" nur für zylische Gruppen?
Muss ich nun bei meinen Lösungen noch die Strukturerhaltung (Bild eines Produktes ist Produkt der Bilder) zeigen oder gilt generell schon für meine Abbildungen, da ich diese entsprechend konstruiert habe?
Liebe Grüße!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:54 Mi 12.01.2011 | | Autor: | statler |
Hi!
> Wenn ich deine Antwort richtig verstehe, gilt meine
> Ausssage: "Für den Erzeuger a mit f(a)=y gilt: [mm]f(a^n)=y^n,[/mm]
> wobei sich [mm]a^n[/mm] auf die Verknüpfung der ersten Gruppe, [mm]y^n[/mm]
> auf die Verknüpfung der zweiten Gruppe bezieht" nur für
> zylische Gruppen?
Nein, die Aussage gilt immer. Aber das Wort 'Erzeuger' deutet ja schon an, daß zumindest die linke Gruppe zyklisch ist. Und wenn sie zyklisch ist, dann ist jedes Element als ein [mm] a^r [/mm] darstellbar. Die Abbildung ist damit völlig festgelegt. Daß es ein Iso- (oder Homo-)morphismus, ist damit noch nicht bewiesen. Es könnte ja doch sein, daß [mm] a^n [/mm] = e ist, aber [mm] y^n [/mm] nicht. Bei dir haben beide Gruppen gleiche Ordnung (4 oder 6), und du bildest Erzeuger auf Erzeuger ab, da kann nix schiefgehen, wenn du [mm] f(a^s) [/mm] := [mm] f(a)^s [/mm] definierst.
> Muss ich nun bei meinen Lösungen noch die
> Strukturerhaltung (Bild eines Produktes ist Produkt der
> Bilder) zeigen oder gilt generell schon für meine
> Abbildungen, da ich diese entsprechend konstruiert habe?
Jein. Ich weiß nicht genau, was S. alles in der Vorlesung bewiesen hat.
Gruß
Dieter
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Alles klar, vielen Dank nochmal.
Dass die eine Aussage allgemeingültig ist, hilft mir schon viel weiter.
Wegen des Beweisens der Strukturerhaltung frage ich nochmal in der Uni nach bzw. mache es in der Klausur einfach, wenn genug Zeit ist.
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