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Forum "Uni-Lineare Algebra" - Isomorphismus
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Isomorphismus: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:51 Mi 06.09.2006
Autor: Elbi

Aufgabe
Es sei K ein Körper und {0}[mm]\not= V[/mm] ein K-Vektorraum mit n:=Dim(V)<[mm]\infty[/mm]. Ferner sei [mm]\phi \in End_K(V)[/mm]. Zeigen sie:

a) Es sei [mm]1\le Grad(\mu_{\phi}) \le n[/mm]
(Hinweis: Induktion)

b) Es sei [mm]\mu_{\phi} (0) \not= 0[/mm] genau dann, wenn [mm]\phi[/mm] ein Isomorphismus ist.

c) Ist [mm]\phi[/mm] ein Isomorphismus, so gibt es [mm]\lambda_0,...,\lambda_{k-1} \in K[/mm] für ein [mm]1\le k \le n[/mm] mit
[mm]\phi^{-1}= \summe_{i=0}^{k-1} \lambda_i*\phi^i[/mm]
Geben Sie außerdem [mm]\mu_{\phi^-1}[/mm] an.

d) Es ist [mm]\phi[/mm] nilpotent (d.h. es existiert ein [mm]k \ge o[/mm] mit [mm] [mm[\phi^k=0[/mm]) [/mm] genau dann, wenn [mm]\phi^n=0[/mm] ist. Ist dies der Fall, so gilt [mm]\mu_{\phi}(X)=X^m[/mm], wobei [mm]m=min\{k \ge 0 | \phi^k = 0 \}[/mm].

HAllo ihr's

so da stehe ich wieder mit so einer aufgabe und weiß nicht so recht. Also zum Beispiel bei a). Wie soll ich denn da mit einer Indkution das zeigen. Induktion wie das geht ist klar aber wie ich damit die Behauptung zeigen soll. Ach mensch... und bei den anderen aufgaben stehe ich wieder ganz Ahnungslos da. Mag mir einer Tipps geben. Ich will das ja gerne alleine das machen, aber ich weiß nicht wie ich da anfangen kann, das ist doof und ich schaff dann nicht die Aufgabe. Hilft mir einer weiter, vielleicht, bitte?!
Danke im voraus

LG
Elbi

        
Bezug
Isomorphismus: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:05 Mi 06.09.2006
Autor: felixf

Hallo Elbi!

> Es sei K ein Körper und {0}[mm]\not= V[/mm] ein K-Vektorraum mit
> n:=Dim(V)<[mm]\infty[/mm]. Ferner sei [mm]\phi \in End_K(V)[/mm]. Zeigen
> sie:
>  
> a) Es sei [mm]1\le Grad(\mu_{\phi}) \le n[/mm]
>  (Hinweis: Induktion)

Wie habt ihr denn [mm]\mu_\phi[/mm] definiert? Das ist doch das Minimalpolynom von [mm] $\phi$, [/mm] oder? Was wisst ihr denn ueber das Minimalpolynom und das charakteristische Polynom? Hattet ihr den Satz von Cayley-Hamilton?

> b) Es sei [mm]\mu_{\phi} (0) \not= 0[/mm] genau dann, wenn [mm]\phi[/mm] ein
> Isomorphismus ist.

Wie sieht die Determinante von Automorphismen aus? Und umgekehrt, wenn ein Endomorphismus kein Automorphismus ist, wie sieht dann die Determinante aus?

Und was hat die Determinante mit [mm]\mu_\phi(0)[/mm] zu tun? (Was hat sie mit dem charakteristischen Polynom zu tun, und wie ist dessen Beziehung zum Minimalpolynom?)

> c) Ist [mm]\phi[/mm] ein Isomorphismus, so gibt es
> [mm]\lambda_0,...,\lambda_{k-1} \in K[/mm] für ein [mm]1\le k \le n[/mm] mit
>  [mm]\phi^{-1}= \summe_{i=0}^{k-1} \lambda_i*\phi^i[/mm]

Setz doch mal [mm]\phi[/mm] in [mm]\mu_\phi[/mm] ein. Was kommt raus? Und dann multipliziere die Gleichung mit [mm]\phi^{-1}[/mm] und loese sie danach auf.

>  Geben Sie
> außerdem [mm]\mu_{\phi^-1}[/mm] an.

Multipliziere [mm]\mu_\phi(\phi)[/mm] mit [mm]\phi^{-k}[/mm], wobei $k$ der Grad von [mm] $\mu_\phi$ [/mm] ist. Hilft dir das weiter?

> d) Es ist [mm]\phi[/mm] nilpotent (d.h. es existiert ein [mm]k \ge o[/mm] mit
> [mm][mm[\phi^k=0[/mm])[/mm] genau dann, wenn [mm]\phi^n=0[/mm] ist.

Wenn [mm]\phi^n = 0[/mm] ist, dann ist [mm]\phi[/mm] natuerlich nilpotent. Ist andersherum [mm]\phi^k = 0[/mm] fuer ein beliebiges $k$, was kannst du dann ueber das Polynom [mm]t^k \in K[t][/mm] und das Minimalpolynom [mm]\mu_\phi \in K[t][/mm] sagen? Denk an die Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung in Polynomringen ueber Koerpern.

> Ist dies der
> Fall, so gilt [mm]\mu_{\phi}(X)=X^m[/mm], wobei [mm]m=min\{k \ge 0 | \phi^k = 0 \}[/mm].

LG Felix


Bezug
                
Bezug
Isomorphismus: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 12:56 Do 07.09.2006
Autor: Elbi

Hallo,

also den Satz von Cayley-Hamilton hatten wir, aber wie bringt mich das dabei jetzt weiter? Verstehe ich nicht um ehrlich zu sein.

LG

Elbi

Bezug
                        
Bezug
Isomorphismus: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:20 Fr 08.09.2006
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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