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Forum "Uni-Lineare Algebra" - Isomorphismus
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Isomorphismus: Frage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:37 So 28.11.2004
Autor: Michel

Hallo zusammen,

wahrscheinlich ganz einfach, aber ich sitz schon ewig dran:

Sei V ein Vektorraum über dem Körper K.

a) Sei U [mm] \le [/mm] V ein Untervektorraum und X [mm] \le [/mm] V mit V = U [mm] \oplus [/mm] X das  
    Komplement zu U. Weiter sei die lineare Abbildung  

    k : V  [mm] \to [/mm] V/U , v [mm] \mapsto [/mm] v+U

    in den Faktorraum eingeführt. Zeigen Sie, dass die Einschränkung

    k|x : X [mm] \to [/mm] V/U
  
    ein Isomorphismus ist.

b) Sei W ein weiterer Vektorraum über K und  [mm] \alpha [/mm] : V [mm] \to [/mm] W eine surjektive lineare Abbildung. Zeigen Sie mit Hilfe des Homomorphiesatzes, dass es dann eine lineare Abbildung  [mm] \beta [/mm] : W [mm] \to [/mm] V gibt mit

     [mm] \alpha \circ \beta [/mm] = [mm] id_w [/mm]

(Hinweis: Verwenden Sie Teil a) mit U = Kern [mm] (\alpha)) [/mm]

zu a)

Ich weiß also ich muss die Injektivität und Surjektivität zeigen, d.h.

Bild (k|x) = V/U und
Kern (k|x) = 0 (d.h. das Nullelement)

aus V = U [mm] \oplus [/mm] X folgt doch U [mm] \cap [/mm] X = 0. Wie verwende ich das nun ?


Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Isomorphismus: Zu (a)
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:33 So 28.11.2004
Autor: Hanno

Hallo Michel!

Zu Aufgabe (a)

> Ich weiß also ich muss die Injektivität und Surjektivität zeigen, d.h.

Ja, das ist doch schon völlig richtig! [ok]
Fangen wir mal mit der Surjektivität von k an: sei [mm] $v\in [/mm] V$ und [mm] $a\in [/mm] V/U$ mit $a=v+U$. Dann musst du zeigen, dass es zu jedem solchen a ein [mm] $x\in [/mm] X$ so gibt, dass $k(x)=a=v+U$ gilt. Nun müssen wir eine Fallunterscheidung durchführen, denn v liegt entweder in [mm] $X\setminus \{0\}$ [/mm] oder in $U$ (denn es gilt [mm] $X\cup [/mm] U=V$ und [mm] $X\cap U=\{0\}$). [/mm] So, und nun du: wie könnte man nun die einzelnen Fälle behandeln?
Danach musst du noch zeigen, die Abbildung injektiv. Dazu gehst du wie immer vor: seien [mm] $x,y\in [/mm] K$ und $f(x)=f(y)$, dann musst du zeigen, dass $x=y$ folgt. Schreiben wir die Gleichung aus, so erhalten wir: $x+U=y+U$. So, und nun wieder du? Was weißt du über Nebenklassen? Wann sind zwei Nebenklassen gleich? Welche Bedingungen müssten die Repräsentanten x und y erfüllen? Versuch's mal!

Hilft dir das schonmal?

Liebe Grüße,
Hanno

Bezug
                
Bezug
Isomorphismus: Frage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:56 So 28.11.2004
Autor: Michel

Hallo Hanno,

vielen Dank schon mal. Leider steh ich bei der surjektivität völlig auf dem Schlauch !!!

zur Injektivität:

Seien x,y [mm] \in [/mm] k. zu zeigen x+U = y+U:

wegen 0 [mm] \in [/mm] U ist y = y+0 [mm] \in [/mm] y+U

wenn x+U = y+U ist, so muss y [mm] \in [/mm] y+U = x+U gelten.

Also muss es ein [mm] u_0 \in [/mm] U geben mit y = x + [mm] u_0. [/mm] Das bedeutet y-x = [mm] u_0 \in [/mm] U.

Umgekehrt:

Sei y-x [mm] \in [/mm] U. Dann definiert man [mm] u_0:= [/mm] y-x. Also y = [mm] x+u_0 \in [/mm] x+U,

also

y+U = [mm] \{y+u | u \in U\} [/mm] = [mm] \{x+u_0+u | u \in U\} \subseteq \{x+u_1 | u_1 \in U\} [/mm] = v+U.

wegen x = [mm] y-u_0 \in [/mm] y+U folgt entsprechend x+U [mm] \subseteq [/mm] y+U

also x+U = y+U.

Richtig ?



Bezug
                        
Bezug
Isomorphismus: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:27 Fr 03.12.2004
Autor: Julius

Hallo!

Das, was du geschrieben hast, ist schon mal richtig.

Jetzt zur Injektivität:

Aus [mm] $k|_X(x) [/mm] = [mm] k|_X(y)$ [/mm] für $x,y [mm] \in [/mm] X$ folgt:

$x+U = y+U$,

also -wie von dir richtig erkannt-

$x-y [mm] \in [/mm] U$.

Weiterhin ist

$x-y [mm] \in [/mm] X$,

da $X$ ein Untervektorraum ist.

Daher ist

$x-y [mm] \in [/mm] U [mm] \cap X=\{0\}$, [/mm]

also:

$x=y$.

Zur Surjektivität:

Es sei $v+U$ beliebig vorgegeben. Nun sei $v=u+x$ mit $u [mm] \in [/mm] U$, $x [mm] \in [/mm] X$.

Dann gilt:

[mm] $k|_X(x) [/mm] = x+U = x+u + U = v+U$.

Liebe Grüße
Julius

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