Isomorphismus < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:40 Mi 20.10.2010 | | Autor: | clemenum |
| Aufgabe | | Man gebe einen Isomorphismus zwischen [mm] (\mathbb{Q}^+,\cdot)[/mm], den positiven rationalen Zahlen bezüglich Multiplikation, und [mm] (\mathbb{Z}[X],+)[/mm], den Polynomen in einer Veränderlichen bezüglich Addition, an. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich habe darüber schon nachgedacht und bin leider auf keinen grünen Zweig gekommen. Wie sollte man bitte einen bijektive Abbildung von den rationalen Zahlen zu den Polynomen angeben, ich sehe hier keinen klaren Zusammenhang und würde mich freuen, wenn mir hier jemand diesen erläutern könnte!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:21 Mi 20.10.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Man gebe einen Isomorphismus zwischen [mm](\mathbb{Q}^+,\cdot)[/mm],
> den positiven rationalen Zahlen bezüglich Multiplikation,
> und [mm](\mathbb{Z}[X],+)[/mm], den Polynomen in einer
> Veränderlichen bezüglich Addition, an.
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Ich habe darüber schon nachgedacht und bin leider auf
> keinen grünen Zweig gekommen. Wie sollte man bitte einen
> bijektive Abbildung von den rationalen Zahlen zu den
> Polynomen angeben, ich sehe hier keinen klaren Zusammenhang
> und würde mich freuen, wenn mir hier jemand diesen
> erläutern könnte!
Beachte, dass es nur um abelsche Gruppen geht, nicht um Ringisomorphismen.
Und dann beachte folgendes:
Ist [mm] $p_1, p_2, \dots$ [/mm] eine Aufzaehlung aller Primzahlen, so kannst du jedes Element $x [mm] \in \IQ^\ast$ [/mm] eindeutig schreiben als $x = [mm] \prod_{i=1}^\infty p_i^{e_i}$ [/mm] mit [mm] $e_i \in \IZ$, [/mm] so dass fast alle [mm] $e_i [/mm] = 0$ sind. (Das ganze ist damit wieder ein endliches Produkt.)
Bekommst du eine Idee, was das mit [mm] $\IZ[X]$ [/mm] zu tun hat?
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:38 Mi 20.10.2010 | | Autor: | clemenum |
Ja, ok:
Da $ggT(r,s)=1$, folgt r,s haben keine gemeinsamen Primfaktoren. Deshalb stammen die in der obigen Primfaktorenzerlegung auftretenden Primfaktoren mit positiven Exponenten von $r$ und diejenigen mit negativen Exponenten von $s$. Da $r$ und $s$ und deren Primfaktorenzerlegung von eindeutig sind, ist damit auch die Produktzerlegung von $a$ eindeutig. Damit habe ich dann die folgende wohldefinierte Abbildung:
[mm] \psi: $\mathbb{Q}^+ [/mm] -> [mm] \mathbb{Z}[x] [/mm] $
[mm] $\prod_{i\geq 0} p_i^{n_i} \mapsto \sum_{i \geq0}n_i \cdot X^i$ [/mm]
Da in dieser Definition auftretenden Produkte und Summen alle endlich, da [mm] $n_i [/mm] =0 [mm] \forall [/mm] i$. [mm] $\psi$ [/mm] ist offensichtlich bijektiv und damit dann (nach einigen Umformungen sichtbar) ein Isomorphismus...
Kann ich so argumentieren?
Danke für deinen Tipp! ;)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:54 Mi 20.10.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Ja, ok:
> Da [mm]ggT(r,s)=1[/mm], folgt r,s haben keine gemeinsamen
> Primfaktoren. Deshalb stammen die in der obigen
> Primfaktorenzerlegung auftretenden Primfaktoren mit
> positiven Exponenten von [mm]r[/mm] und diejenigen mit negativen
> Exponenten von [mm]s[/mm]. Da [mm]r[/mm] und [mm]s[/mm] und deren
> Primfaktorenzerlegung von eindeutig sind, ist damit auch
> die Produktzerlegung von [mm]a[/mm] eindeutig. Damit habe ich dann
> die folgende wohldefinierte Abbildung:
> [mm]\psi:[/mm] [mm]\mathbb{Q}^+ -> \mathbb{Z}[x][/mm]
> [mm]\prod_{i\geq 0} p_i^{n_i} \mapsto \sum_{i \geq0}n_i \cdot X^i[/mm]
> Da in dieser Definition auftretenden Produkte und Summen
> alle endlich, da [mm]n_i =0 \forall i[/mm]. [mm]\psi[/mm] ist offensichtlich
> bijektiv und damit dann (nach einigen Umformungen sichtbar)
> ein Isomorphismus...
Sieht gut aus.
Ich hatte in meiner Antwort aus Versehen [mm] $\IQ^\ast$ [/mm] anstelle [mm] $\IQ^+$ [/mm] geschrieben; bei negativen Zahlen braucht man natuerlich noch $-1$ 
LG Felix
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