Isomorphismus Symmetriegruppe < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:28 Fr 12.11.2010 | | Autor: | Wiesel89 |
| Aufgabe | Mit G bezeichnen wir die Symmetriegruppe eines gleichseitigen Dreiecks,das wir als Teilmenge des Raumes betrachten. Damit meinen wir die Gruppe der Bewegungen,die diese Figur in sich überführen; jedes ihrer Elemente ist durch die Zuordnung der Ecken eindeutig bestimmt.
(1) Geben Sie einen Isomorphismus f : G [mm]\to S_{3}[/mm] an!
(2) Bestimmen Sie die Untergruppe f(U) von [mm]S_{3}[/mm], wenn U die Untergruppe der Drehungen des Dreiecks in der Ebene bezeichnet.
(3) Lässt sich ein Isomorphismus der Symmetriegruppe eines Quadrats und der Gruppe [mm]S_{4}[/mm] fi nden? |
Sooo, liebes Forum ![[winken]](/images/smileys/winken.gif "[winken]")
Ich sitze vor obiger Aufgabe. Habe mich dazu noch ne ganze Weile in einen Isomorphismus eingelesen, aber hänge gerade an der Vorgehensweise.
(1) WIE gebe ich einen Isomorphismus an? Ansich muss f doch bijektiv sein. Das heißt, wenn ich eine Drehung am Dreieck vornehme, muss ich dieses auch zurückdrehen können und die Ecken stimmen wieder überein, oder?
(2) Gilt es hier, einfach nur eine bestimmte Menge der Bewegungen anzugeben? Zum Beispiel Drehungen um jeweils 120°?
(3) Naja, sollte sich doch einer finden, oder nicht? Ähnlich wie (1)
Kann mir jemand beim Vorgehen helfen? ![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]")
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> Mit G bezeichnen wir die Symmetriegruppe eines
> gleichseitigen Dreiecks,das wir als Teilmenge des Raumes
> betrachten. Damit meinen wir die Gruppe der Bewegungen,die
> diese Figur in sich überführen; jedes ihrer Elemente ist
> durch die Zuordnung der Ecken eindeutig bestimmt.
>
> (1) Geben Sie einen Isomorphismus f : G [mm]\to S_{3}[/mm] an!
> (2) Bestimmen Sie die Untergruppe f(U) von [mm]S_{3}[/mm], wenn U
> die Untergruppe der Drehungen des Dreiecks in der Ebene
> bezeichnet.
> (3) Lässt sich ein Isomorphismus der Symmetriegruppe
> eines Quadrats und der Gruppe [mm]S_{4}[/mm] fi nden?
> Sooo, liebes Forum
>
> Ich sitze vor obiger Aufgabe. Habe mich dazu noch ne ganze
> Weile in einen Isomorphismus eingelesen, aber hänge gerade
> an der Vorgehensweise.
>
> (1) WIE gebe ich einen Isomorphismus an?
hallo,
mach jetzt mal erstmal dies:
Schreib mal die Elemente von G auf und die Elemente von [mm] S_3, [/mm] damit klar ist, worüber Du nachdenken mußt und hier geredet werden soll.
Numeriere mal die Ecken des Dreicks mit 1,2,3 und schreib auf, welche Ecke des Dreiecks durch die Elemente von G auf welche Ecke des Deiecks abgebildet wird.
Eigentlich sollte der Isomorphismus Dir danach in die Arme springen.
> (2) Gilt es hier, einfach nur eine bestimmte Menge der
> Bewegungen anzugeben? Zum Beispiel Drehungen um jeweils
> 120°?
Welche Abbildungen sind in U?
Wenn Du den Isomorphismus bestimmt hast, schreibst Du die jeweiligen Bilder unter f auf.
>
> (3) Naja, sollte sich doch einer finden, oder nicht?
Vielleicht ja, vielleicht nein...
Das ist ja kein Ratespiel hier.
Woraus besteht die gruppe der deckabbildungen des Quadates? Welche Abbildungen sind da drin?
Was ist [mm] S_4? [/mm] Welche, bzw. wie viele Elemente?
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:53 Fr 12.11.2010 | | Autor: | Wiesel89 |
Also ich habe einmal die Ecken nummeriert. Und folgende Bewegungen als Permutationen festgehalten.
G: (1,2,3)
[mm]Drehung:
\pmat{ 1 & 2 & 3 \\
3 & 1 & 2 } \pmat{ 1 & 2 & 3 \\
2 & 3 & 1 } \pmat{ 1 & 2 & 3 \\
1 & 2 & 3 }
Spiegelung:
\pmat{ 1 & 2 & 3 \\
1 & 3 & 2 } \pmat{ 1 & 2 & 3 \\
2 & 1 & 3 } \pmat{ 1 & 2 & 3 \\
3 & 2 & 1 } [/mm]
Demzufolge wäre doch zB.:
[mm] \pmat{ 1 & 2 & 3 \\
3 & 1 & 2 } \pmat{ 1 & 2 & 3 \\
2 & 3 & 1 }
[/mm]
ein Isomorphismus, ay? :)
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> Also ich habe einmal die Ecken nummeriert. Und folgende
> Bewegungen als Permutationen festgehalten.
>
> G: (1,2,3)
Quatsch!!!
G ist doch die Gruppe der Deckabbildungen des gleichseitigen Dreiecks!
Da sind doch nicht die Zahlen 1,2,3 drin, sondern gewisse Spiegelungen und Drehungen, insgesamt 6 Elemente.
In G sind Drehungen und Spiegelungen (welche?), in [mm] S_3 [/mm] Permutationen,
Du sollst jetzt jedem dieser Elemente aus G eine Permutation aus so [mm] S_3 [/mm] zuordnen, daß Du einen Isomorphismus hast.
Eine gewisse, vielleicht im Moment noch nebulöse Vorstellung davon, wie dies geschehen könnte, zeigst Du ja hier:
einen Isomorphismus hat.einen Isomorphismus hat.
>
> [mm]Drehung: \pmat{ 1 & 2 & 3 \\
3 & 1 & 2 } \pmat{ 1 & 2 & 3 \\
2 & 3 & 1 } \pmat{ 1 & 2 & 3 \\
1 & 2 & 3 } Spiegelung: \pmat{ 1 & 2 & 3 \\
1 & 3 & 2 } \pmat{ 1 & 2 & 3 \\
2 & 1 & 3 } \pmat{ 1 & 2 & 3 \\
3 & 2 & 1 }[/mm]
>
> Demzufolge wäre doch zB.:
>
> [mm]\pmat{ 1 & 2 & 3 \\
3 & 1 & 2 } \pmat{ 1 & 2 & 3 \\
2 & 3 & 1 }[/mm]
>
> ein Isomorphismus, ay? :)
Hä?
Das wäre die Identität auf der Menge [mm] \{1,2,3\}.
[/mm]
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:04 Fr 12.11.2010 | | Autor: | Wiesel89 |
Hmm,... steh grad auf dem Schlauch ![[keineahnung]](/images/smileys/keineahnung.gif "[keineahnung]")
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:19 Fr 12.11.2010 | | Autor: | Wiesel89 |
Also,
Ich hätte damit zwei Gruppen.
Die Gruppe der Spiegelung (an einer Winkelhalbierenden) und die Gruppe der Drehung.
Und folgende Elemente von S3:
$ [mm] \pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 2 } \pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 1 } \pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 3 } \pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 2 } \pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 3 } \pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 3 & 2 & 1 } [/mm] $
Der Gruppe der Drehung ordne ich:
[mm] $\pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 2 } \pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 1 } \pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 3 }
[/mm]
zu.
Und der Gruppe der Spiegelung ordne ich:
[mm] $\pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 2 } \pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 3 } \pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 3 & 2 & 1 } [/mm] $
Richtig?
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Halo,
ich erlaube mir einfach mal, auf den Beitrag, den Du inzwischen hast verschwinden lassen, zu antworten, denn er war ja nicht völlig unsinnig.
Ja, in G sind diese Abbildungen, ich glaube, wir haben sie früher mit id, [mm] \rho_a, \rho_b, \rho_c, \sigma_{120}, \sigma_{240} [/mm] bzeichnet.
Irgendwelche Bezeichnungen werdet Ihr auch haben.
In [mm] S_3 [/mm] (Ihr müßtet die Gruppe doch zumindest definiert haben?) sind alle Permutationen der Zahlen 1,2,3. Notieren kann man die ja verschieden, aber Deinem Post von vorhin entnehme ich, daß Dir die Matrix-Notation hierfür geläufig ist. Auch dies sind 6 Elemente.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:43 Fr 12.11.2010 | | Autor: | Wiesel89 |
Vielen Dank Angela für deine Geduld.
Ich versuche mich damit mal an der Notation.
$ [mm] \rho_a, \rho_b, \rho_c, \sigma_{120}, \sigma_{240} [/mm] $ [mm] \in [/mm] G
[mm] $S_{3}$: [/mm] {(3,1,2), (3,2,1), (2,3,1), (2,1,3),(1,2,3),(1,3,2)}
f: G [mm] \to $S_{3}$ [/mm] beinhaltet damit alle Abbildungen.
Und wie ist das jetzt mit dem Isomorphismus?
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Hallo!
> Ich versuche mich damit mal an der Notation.
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> [mm] \red{id},[/mm] [mm]\rho_a, \rho_b, \rho_c, \sigma_{120}, \sigma_{240}[/mm] [mm]\in[/mm] G
>
> [mm]S_{3}[/mm]: [mm] {\red{(3,1,2)}, (3,2,1), \red{(2,3,1)}, (2,1,3),\red{(1,2,3),(1,3,2)\}}
[/mm]
Die roten sind gleich, und die schwarzen auch, jedenfalls, falls das in der Zykelschreibweise sein soll.
In der Tupelschreibweise wär's richtig.
Daß Permutationen Abbildungen sind, ist klar?
> f: G [mm]\to[/mm] [mm]S_{3}[/mm] beinhaltet damit alle Abbildungen.
>
> Und wie ist das jetzt mit dem Isomorphismus?
Oh Mann...
f ist der Isomorphismus, den Du suchen sollst...
Gruß v. Angela
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