Isomorphismus von Vektorräumen < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Gegeben: [mm] \phi [/mm] : [mm] V\to [/mm] W sei eine lineare Abbildung.
V ist endlich dimensional, [mm] im\phi [/mm] ist endlich dimensional und - [mm] dim(im\phi)\le [/mm] dimV - Aufgabe: sei S ein Komplement zu [mm] ker\phi. [/mm] Zeige , dass die Abbildung [mm] \psi: [/mm] S [mm] \to [/mm] im [mm] \phi, v\mapsto \phi(v) [/mm] ein Isomorphismus von Vektorräume ist. Folgern Sie, dass dimV = [mm] dim(ker\phi) +dim(im\phi) [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Also ehrlich gesagt verstehe ich bereits vom Sinn her die Aufgabenstellung gar nicht......heißt ich kann gar keinen Ansatzpunkt finden....
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:41 So 12.12.2010 | | Autor: | fred97 |
Wir nehmen uns einen Komplementärraum S von $ [mm] ker\phi$ [/mm] her. Es ist also
V=$ [mm] ker\phi [/mm] $ [mm] \oplus [/mm] S.
Dann definieren wir $ [mm] \psi: [/mm] $ S $ [mm] \to [/mm] $ im [mm] \phi [/mm] durch [mm] \psi(v):= \phi(v)
[/mm]
Du sollst zeigen: [mm] \psi [/mm] ist ein Isomorphismus
FRED
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Hmmmm.....das heißt prinizpiell erst einmal, dass eine bijektive abbildung vorzuliegen hat,.....ich habe den Verdacht , dass es sich bei der Abbildung mit dem Komplement um eine Verwandtschaftsbeziehung mit der Umkehrabbildung zu dem Gegebenen handelt.....kann aber nicht exakt einordnen.
(1) Ist (v1, v2, . . . , vt) ein Erzeugendensystem von V , so ist
(f(v1), . . . , f(vt)) ein Erzeugendensystem von W.
(2) Ist (v1, v2, . . . , vt) linear unabh¨angig in V , so ist (f(v1), . . . , f(vt))
linear unabh¨angig in W.
(3) Ist (v1, v2, . . . , vt) eine Basis von V , so ist (f(v1), . . . , f(vt)) eine
Basis von W.
Folgerung. Isomorphe Vektorr¨aume haben dieselbe Dimension.
Bringen mich diese Eigenschaften weiter....also kann ich diese nachweisen und ich bekomme meinen Isomorphismus?
Oder sollte ich elemntar vorgehen mit injektivität und surjektivität?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:54 So 12.12.2010 | | Autor: | fred97 |
> Hmmmm.....das heißt prinizpiell erst einmal, dass eine
> bijektive abbildung vorzuliegen hat,.....ich habe den
> Verdacht , dass es sich bei der Abbildung mit dem
> Komplement um eine Verwandtschaftsbeziehung mit der
> Umkehrabbildung zu dem Gegebenen handelt.....kann aber
> nicht exakt einordnen.
> (1) Ist (v1, v2, . . . , vt) ein Erzeugendensystem von V ,
> so ist
> (f(v1), . . . , f(vt)) ein Erzeugendensystem von W.
> (2) Ist (v1, v2, . . . , vt) linear unabh¨angig in V , so
> ist (f(v1), . . . , f(vt))
> linear unabh¨angig in W.
> (3) Ist (v1, v2, . . . , vt) eine Basis von V , so ist
> (f(v1), . . . , f(vt)) eine
> Basis von W.
> Folgerung. Isomorphe Vektorr¨aume haben dieselbe
> Dimension.
>
> Bringen mich diese Eigenschaften weiter....also kann ich
> diese nachweisen und ich bekomme meinen Isomorphismus?
>
> Oder sollte ich elemntar vorgehen mit injektivität und
> surjektivität?
genau so
FRED
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Wie so.....soll ich die Eigenschaften abarbeiten oder über injektiv surjektiv gehen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:01 So 12.12.2010 | | Autor: | fred97 |
> Wie so.....soll ich die Eigenschaften abarbeiten oder über
> injektiv surjektiv gehen?
über injektiv surjektiv gehen
FRED
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Ich komme irgendwie bei den Beweisen nicht weiter:
(1) h : Rn ! V ist surjektiv genau dann, wenn (v1, v2, . . . , vn) ein
Erzeugendensystem von V ist.
(2) h : Rn ! V ist injektiv genau dann, wenn (v1, v2, . . . , vn) in V
linear unabh¨angig ist.
(3) h : Rn ! V ist ein Isomorphismus genau dann, wenn
(v1, v2, . . . , vn) eine Basis von V ist.
wie fange ich an?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:06 So 12.12.2010 | | Autor: | fred97 |
Mann, mann ist das mühsam.
1. Ist v [mm] \in [/mm] S und [mm] \psi(v)=0, [/mm] so ist [mm] \phi(v)=0, [/mm] also v [mm] \in [/mm] kern [mm] \phi.
[/mm]
Wegen V=$ [mm] ker\phi [/mm] $ $ [mm] \oplus [/mm] $ S, ist v=0. Damit ist [mm] \psi [/mm] injektiv
2. Sei w [mm] \in [/mm] im [mm] \phi, [/mm] also ex. ein a [mm] \in [/mm] V mit [mm] \phi(a)=w.
[/mm]
Wegen V=$ [mm] ker\phi [/mm] $ $ [mm] \oplus [/mm] $ S, ex. b [mm] \in [/mm] ker [mm] \phi, [/mm] c [mm] \in [/mm] S mit a=b+c.
Dann: w= [mm] \phi(a)= \phi(b)+\phi(c)= \phi(c)= \psi(c)
[/mm]
[mm] \psi [/mm] ist also surjektiv.
FRED
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Vielen Vielen Dank bringt mich echt weiter.......jetzt habe ich nur noch eine Frage......ein Isomorphismus besagt ja, dass die Beiden vektorräume der lienaren Abbildung die gleiche Dimension besitzen, also das Komplement zum Kern hat die gleiche Dimension wie das Bild.
Jetzt fehlt mir nur die Benatwortung der Frage warum die Basis des Bildes und die basis des Kerns den kompleten Vektorraum ergeben.....
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:20 So 12.12.2010 | | Autor: | fred97 |
> Vielen Vielen Dank bringt mich echt weiter.......jetzt habe
> ich nur noch eine Frage......ein Isomorphismus besagt ja,
> dass die Beiden vektorräume der lienaren Abbildung die
> gleiche Dimension besitzen, also das Komplement zum Kern
> hat die gleiche Dimension wie das Bild.
> Jetzt fehlt mir nur die Benatwortung der Frage warum die
> Basis des Bildes und die basis des Kerns den kompleten
> Vektorraum ergeben.....
Wir haben doch V=$ [mm] ker\phi [/mm] $ $ [mm] \oplus [/mm] $ S
FRED
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Ja das besagt dass der schnitt zwischen s und dem kern nur der nullvektor ist.....kann ich einfach daraus folgern dass das komplement zum kern das bild ist??
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:23 Di 14.12.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Aufgabe | Hallo 
Wir haben ein kleines Problem mit dem Beweis des Isomorphismus und der Linearität. Wir wissen zwar um was es sich dabei handelt, aber nicht wie man es beweist.
Das ist unsere Aufgabe:
Sei K ein Körper und seien U,V,W K-Vektorräume. Zeigen Sie:
a) Sind f:U→V und g:V→W linear, so ist gof linear.
b) Ist f:U→V ein Isomorphismus, so ist f−1:V→U ein Isomorphismus.
Vielen dank im Voraus!! |
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:08 Do 20.01.2011 | | Autor: | skoopa |
Hey!
> Hallo
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> Wir haben ein kleines Problem mit dem Beweis des
> Isomorphismus und der Linearität. Wir wissen zwar um was
> es sich dabei handelt, aber nicht wie man es beweist.
>
> Das ist unsere Aufgabe:
>
> Sei K ein Körper und seien U,V,W K-Vektorräume. Zeigen
> Sie:
>
> a) Sind f:U→V und g:V→W linear, so ist gof linear.
Also wenn ihr wisst, was linear bedeutet, dann ist diese Aufgabe eigentlich nur noch Definitionen einsetzen und ausführen. Am besten ist bei sowas immer erst hinschreiben, welche Definitionen gebraucht werden und sich klar machen was wo was und warum bedeutet. Also:
f ist genau dann K-linear, wenn mit [mm] u_{1},u_{2}\in [/mm] U und [mm] \lambda,\mu\in [/mm] K gilt:
[mm] f(\lambda*u_{1}+\mu*u_{2})=\lambda*f(u_{1})+\mu*f(u_{2})
[/mm]
Und [mm] g\circ [/mm] f ist definiert als g(f). Also ist [mm] (g\circ [/mm] f)(u)=g(f(u)) mit [mm] u\in [/mm] U.
Jetzt noch kombinieren und voilá!
>
> b) Ist f:U→V ein Isomorphismus, so ist f−1:V→U ein
> Isomorphismus.
Ein Isomorphismus ist eine bijektive lineare Abbildung. Also existiert die Umkehrabbildung auf jeden Fall schon mal, weil f injektiv ist.
Also wieder beide Eigenschaften von [mm] f^{-1} [/mm] nachrechnen. Bijektivität geht z.B. gut per Widerspruch. Allgemein müsst ihr die Eigenschaften von [mm] f^{-1} [/mm] immer irgendwie auf die von f zurückführen.
>
>
> Vielen dank im Voraus!!
>
>
Viel Erfolg und viele Grüße!
skoopa
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Vielen vielen Dank für die Hilfe, jetzt haben wir es geschafft! :)
Liebe Grüße
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:13 Do 20.01.2011 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
bitte für neue Fragen einen eigenen Thread eröffnen!
Gruß,
Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:11 Do 20.01.2011 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Ja das besagt dass der schnitt zwischen s und dem kern nur
> der nullvektor ist.....kann ich einfach daraus folgern dass
> das komplement zum kern das bild ist??
es geht doch nur noch um Dimensionen? Schau' nach, wie da der Zusammenhang bei direkten Summen ist, wenn Dir das nicht klar ist.
Und wenn ich mich recht erinnere, hast Du vorher eine Bijektion zwischen einem Vektorraum und einem anderen hergestellt; beide haben dabei endliche Dimension. Das war eine lineare Abbildung, d.h. sie war quasi Vektorraumstrukturerhaltend; die betrachteten Vektorräume sind zueinander isomorph. D.h. insbesondere auch, dass sie gleiche Dimension (=maximale Anzahl linear unabhängiger Elemente) $< [mm] \infty$ [/mm] haben.
Du musst Dich schon ein wenig mit Vektorräumen auskennen (Dimensionssatz z.B.) und auch mit linearen Abbildungen zwischen Vektorräumen (Fred hat z.B. benutzt, dass eine lineare Abbildung genau dann injektiv ist, wenn der Kern nur den Nullvektor enthält - sowas kennt man auch aus der Gruppentheorie bei Gruppenhomomorphisen / es gibt noch weitere Eigenschaften: Wann eine lineare Abbildung Basiselemente auf Basiselemente abbildet, dass lineare Abbildung durch Angabe auf einem EZS schon eindeutig bestimmt sind usw. usf.).
Dann ist das nur noch "zusammenbasteln" des winzigen Puzzles, dessen wesentliche Bestandteile Fred schon geliefert hat!
Also:
Aus
[mm] $$V=\ker \phi \oplus [/mm] S$$
folgt
[mm] $$\dim(V)=\dim(???)+???$$
[/mm]
(Kennst Du die Dimensionsformel? Für Unterräume [mm] $U,W\,$ [/mm] eines endlichdimensionalen Vektorraums [mm] $V\,$ [/mm] ist
[mm] $$\dim(U \cup W)=\dim(U)+\dim(W)-\dim(U \cap W)\,.$$
[/mm]
Wer übernimmt nun bei Dir oben die Rolle des $U$'s bzw. $W$'s? Was ist bei Dir dann $U [mm] \cup [/mm] W$ und was $U [mm] \cap [/mm] W$? Tipp: "Summanden" der direkten Summe sind die Unterräume. Als direkte Summe ist deren Vereinigung gerade???)
Damit siehst Du dann, was [mm] $\dim [/mm] (S)$ ist. Wegen der Isomorphie zwischen [mm] $S\,$ [/mm] und $Im [mm] \phi$ [/mm] haben [mm] $S\,$ [/mm] und $Im [mm] \phi$ [/mm] (Bilder von Vektorräumen unter linearen Abbildungen sind übrigens wieder Unterräume des "Zielvektorraums" der linearen Abbildung) gleiche Dimension. Daraus folgt dann der Rest der Behauptung.
So:
Jetzt nochmal ALLES ordentlich und geordnet aufschreiben. Hier sind nun wirklich alle Puzzleteile vorhanden!
Gruß,
Marcel
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