Isomorphismus zw. Vektorräumen < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:07 Sa 03.02.2007 | | Autor: | Rian |
| Aufgabe | Sei $V$ ein m-dimensionaler Unterraum von [mm] $K^n$, [/mm] K ein Körper. Zeigen Sie, dass es natürliche Zahlen [mm] $v_{1}, [/mm] ... , [mm] v_{m}$ [/mm] aus ${1,2, ... ,n}$ gibt, so dass die lineare Abbildung
$V [mm] \rightarrow K^m, (x_{1}, [/mm] ... [mm] ,x_{n}) \rightarrow (x_{v_{1}}, [/mm] ... [mm] ,x_{v_{m}})$
[/mm]
ein Isomorphismus ist. |
Hi,
soweit ich weiß, ist eine lineare Abbildung zwischen Vektorräumen immer ein Homomorphismus, d.h. ich müsste nur noch zeigen, dass die Abbildung für gewisse natürliche Zahlen bijektiv ist. Leider fällt mir aber nix mehr dazu ein, ich meine, es ist schon klar, dass man zeigen muss dass injektiv und surjektiv, aber weiß halt nicht wie.
Bitte um Hilfe
Danke
Rian
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Du musst dir eine Basis in V und K definieren und dann die Basiselemente aufeinander abbilden. Davon die lineare Fortsetzung ist dein Isomorphismus.
Straussy
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:19 Sa 03.02.2007 | | Autor: | Rian |
Was meinst du mit lineare Fortsetzung? Der Begriff ist mir nicht bekannt. Wie definiere ich denn in diesem Fall genau eine Basis?
Gruß
Rian
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> Wie definiere ich denn in diesem Fall genau
> eine Basis?
Hallo,
nach Voraussetzung ist ja der Vektorraum V ein m-dimensionaler Unterraum des [mm] K^n.
[/mm]
Das heißt, er hat eine Basis [mm] (b_1,...,b_m).
[/mm]
Da V ein Unterraum des [mm] K_n [/mm] ist, kann diese Basis durch Vektoren [mm] b_{m+1},..., b_n [/mm] fortgesetzt werden zu einer Basis des [mm] K_n.
[/mm]
Bezüglich dieser Basis haben alle x [mm] \in [/mm] V [mm] \substeq K^n [/mm] die Gestalt [mm] x=\vektor{x_1 \\ ...\\ x_m \\ 0 \\ ... \\0}_B
[/mm]
Eine lineare Abbildung von einem Vektorraum in den andern ist eindeutig beschrieben durch ihr Bild auf einer Basis.
Für einen Isomorphismus mußt Du nun die Basis von V auf eine Basis von [mm] K^m [/mm] abbilden.
Gruß v. Angela
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