Isomorphismus zweier K-VR < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | | Sei V ein K-Vektorraum und U ein Unterraum von V . Zeigen Sie dass V/U zu einem Komplementärraum von U isomorph ist. Ist hierbei die Wahl des Komplementärraums beliebig ? |
Hallo,
Also ich habe eigentlich alles hierbei gezeigt bzw. man konnte relativ viel aus der Vorlesung verwenden. So haben wir bereits gezeigt, dass zwei K-Vektorräume genau dann isomorph sind, wenn sie die gleiche Dimension haben, haben u.a. gezeigt welche Dimension Faktorraum bzw. Komplementärraum haben usw. Das einzige Problem das ich hierbei noch habe, ist dass ich die Wohldefiniertheit zeigen muss, d.h. dass für einen Unterraum U' f : V/U -> U' gilt, dass diese Abbildung unabhängig von den Repräsentanten ist .
Mein ursprünglicher Gedanke war, dass für zwei Repräsentanten derselben Klasse gilt:
v + U = v' + U <=> v - v' [mm] \in\ [/mm] U
d.h. ich habe dann gesagt: f(v + U) = v sei meine Abbildung bzgl. f : V/U -> U' ; da U das neutrale Element des Faktorraums ist (bereits bewiesen) gilt: f(U) = 0 (wobei 0 neutrales Element von U').
=> v - v' [mm] \in\ [/mm] U <=> f(v - v') = 0 => f(v) = f(v') => unabhängig von d. Wahl d. Repräsentanten
Da der Rest, d.h. Abbildung ist linear/bijektiv bereits für zwei bel. K-VR durchgeführt wurde, wäre ich fertig hiermit . Meine Antwort bzgl. der Frage ob dies für einen beliebigen Komplementärraum gilt war also ja, da ich ja gezeigt habe, dass die Abbildung wohldefiniert ist und für beliebigen Komplementärraum die bijektive lineare Abbildung existiert , oder irre ich mich da ?
Wäre nett wenn mir jemand sagen könnte ob dieser Gedankengang richtig ist. Vielen Dank im Voraus für die Mühe.
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum oder auf einer anderen Internetseite gestellt.
|
|
| |
|
Hallo Salvathras,
> Sei V ein K-Vektorraum und U ein Unterraum von V . Zeigen
> Sie dass V/U zu einem Komplementärraum von U isomorph ist.
> Ist hierbei die Wahl des Komplementärraums beliebig ?
> Hallo,
>
> Also ich habe eigentlich alles hierbei gezeigt bzw. man
> konnte relativ viel aus der Vorlesung verwenden. So haben
> wir bereits gezeigt, dass zwei K-Vektorräume genau dann
> isomorph sind, wenn sie die gleiche Dimension haben, haben
> u.a. gezeigt welche Dimension Faktorraum bzw.
> Komplementärraum haben usw.
Also meiner Meinung nach bist du hier schon fertig. Wenn wir wissen, dass Faktorraum und beliebiger Komplementärraum die gleich DImension haben, dann sind sie auch isomorph. Wie der Isomorphismus genau aussieht, ist zweitrangig.
Ich denke, du brauchst dich dann auch nicht mehr mit wohldefiniertheit oder ähnlichem rumzuschlagen.
VG
Matthias
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:06 So 10.12.2006 | | Autor: | Salvathras |
Das mit der Wohldefiniertheit wurde mir von meiner Übungsleiterin gesagt...ich hatte ursprünglich auch gedacht dass ich hier fertig bin...
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:41 Di 12.12.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
|
