Isormorphie und Unterräume < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:31 Do 13.01.2005 | | Autor: | hallo |
Hallo zusammen,
ich hoffe, es kann mir jemand helfen, wie man diesen Beweis durchführt.
Sei V ein K-VR und seien U1, U2 Unterräume von V. Weiter seien W= U1/(U1 [mm] \cap [/mm] U2) und W' = (U1+U2) / U2.
Zu zeigen ist, dass W und W' isomorph sind und man soll einen Isormorphismus konkret angeben.
Mir ist unklar, ob ich zeigen soll dass W [mm] \cong [/mm] W' ist oder ob ich die Isormorphie für beide getrennt zeigen soll. Für die isomorphie ist doch Bijektivität und linearität zu zeigen oder?
Ich hab aber Probleme, den Beweis umzusetzen, weil mir keine Funktion gegeben ist wie V und W zusammenhängen.
Ich hoffe, es kann mir jemand einen Tipp geben, wie man den beweis durchführt oder mir sagen, ob meine Überlegung richitig ist oder nicht.
Danke Hallo
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:17 Do 13.01.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
Also, da du den Isomorphismus ja genau angeben sollst, zeigst du am besten, dass die Abbildung
[mm] $\varphi\, [/mm] : [mm] \, \begin{array}{ccc} (U_1 + U_2)/U_2 & \to & U_1/(U_1 \cap U_2) \\[5pt] u_1 + u_2 + U_2 & \mapsto & u_1 + U_1 \cap U_2 \end{array}$
[/mm]
1) wohldefiniert,
2) linear,
3) injektiv,
4) surjektiv
ist (geht alles ohne jegliche Schwierigkeiten durch, hoffentlich auch bei dir  ) und bist schon fertig. Solltest du nicht weiterkommen, meldest du dich bitte wieder mit eigenen Versuchen und Ansätzen.
Liebe Grüße
Stefan
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:57 Fr 14.01.2005 | | Autor: | hallo |
hallo,
ich hab deine Tipps befolgt und hab versucht, die 4 Punkte zu zeigen. Aber ich komme nie richtig auf das Ergebnis.
Hier meine Lösung:
f : W' [mm] \to [/mm] W
(U1+U2)/U2 [mm] \to [/mm] U1/(U1 [mm] \cap [/mm] U2)
u1+u2+U2 [mm] \mapsto [/mm] u1+ U1 [mm] \cap [/mm] U2
1) f wohldefiniert: Es gelte u1+u2+U2 = v1+v2+V2
Zu zeigen ist, dass f(u) = f(v)
Ich komm durch ausrechnen von u1+u2+U2 = v1+v2+V2 nicht auf das Ergebnis, also dass u1 + U1 [mm] \cap [/mm] U2 = v1 + V1 [mm] \cap [/mm] V2
Ich weiß nicht, wie ich die Glieder zusammen soll, damit das Ergebnis rauskommt. Ist mein Ansatz überhaupt richtig??
2) f ist linear:
f(u1+u2+U2+v1+v2+U2) = f(u1+u2+U2) + f(v1+v2+U2)
Ich hab die Summe einfach aufgeteilt.
f( [mm] \alpha(u1+u2+U2)) [/mm] = f( [mm] \alphau1 [/mm] + [mm] \alphau2 [/mm] + U2) = f( [mm] \alphau1) [/mm] + f( [mm] \alphau2) [/mm] + f(U2) = [mm] \alpha [/mm] f(u1+u2+U2)
Ist das richitig gezeigt? Wenn nein, bitte ich um Verbesserung.
3) f ist injektiv. Das ist der umgekehrte Weg zu wohldefiniert.
Gelte f(u) = f(v)
Z.Z.: u1+u2+U2 = v1+v2+V2 oder?
Hier hab ich irgendwie dasselbe Problem, wie bei der Wohldefiniertheit. Ich kann aus f(u) = f(v) nicht das Gewünschte folgern.
4) f ist surjektiv. Da hab ich leider noch keinen Ansatz. Ich weiß nur, dass
f(u)= u1+U1 [mm] \cap [/mm] U2 gilt und dass das u gesucht ist.
Wenn ich das alles gezeigt habe, habe ich dann auch einen konkreten Isomorphismus angegeben?
Danke für die Hilfe.
Hallo.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 01:42 Sa 15.01.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
Zunächst einmal solltest du dir klarmachen, dass die
[mm] $u_1 [/mm] + [mm] U_2$ [/mm]
definitionsgemäß nicht anderes als Restklassen bezüglich der Äquivalenzrelation
[mm] $u_1 \sim \tilde{u_1} \quad \Leftrightarrow \quad u_1 [/mm] - [mm] \tilde{u_1} \in U_2$
[/mm]
sind, und dass (daher)
[mm] $u_1 [/mm] + [mm] u_2 [/mm] + [mm] U_2 [/mm] = [mm] u_1 [/mm] + [mm] U_2$
[/mm]
gilt.
Ich rechne jetzt mal alles vor, weil die das Verständnis für die Faktorräume (Quotientenräume) noch völlig fehlt, wie ich anhand deiner Antwort merke, und du vermutlich mit dem Nachvollziehen vollauf beschäftigt bist.
Nun zur Wohldefinierheit:
Es seien [mm] $u_1 [/mm] + [mm] u_2 [/mm] + [mm] U_2, \tilde{u_1} [/mm] + [mm] \tilde{u_2} [/mm] + [mm] U_2 \in (U_1 [/mm] + [mm] U_2)/U_2$ [/mm] mit
[mm] $u_1 [/mm] + [mm] u_2 [/mm] + [mm] U_2 [/mm] = [mm] \tilde{u_1} [/mm] + [mm] \tilde{u_2} [/mm] + [mm] U_2$
[/mm]
gegeben. Dies bedeutet (siehe oben):
[mm] $u_1 [/mm] - [mm] \tilde{u_1} \in U_2$
[/mm]
also:
[mm] $u_1 [/mm] - [mm] \tilde{u_1} \in U_1 \cap U_2$,
[/mm]
und damit:
[mm] $f(u_1 [/mm] + [mm] u_2 [/mm] + [mm] U_2) [/mm] = [mm] u_1 [/mm] + [mm] U_1 \cap U_2 [/mm] = [mm] \tilde{u_1} [/mm] + [mm] U_1 \cap U_2 [/mm] = [mm] f(\tilde{u_1} [/mm] + [mm] \tilde{u_2} [/mm] + [mm] U_2)$,
[/mm]
was zu zeigen war.
Zur Linearität:
Ab jetzt kann man wegen der gezeigten Wohldefiniertheit immer [mm] $u_1 [/mm] + [mm] U_2$ [/mm] anstatt [mm] $u_1 [/mm] + [mm] u_2 [/mm] + [mm] U_2$ [/mm] betrachten.
Es seien [mm] $u_1 [/mm] + [mm] U_2, \tilde{u_1} [/mm] + [mm] U_2 \in (U_1 [/mm] + [mm] U_2)/U_2$ [/mm] und [mm] $\lambda,\tilde{\lambda} \in \IK$ [/mm] beliebig gewählt. Dann gilt:
[mm] $f(\lambda( u_1 [/mm] + [mm] U_2) [/mm] + [mm] \tilde{\lambda}(\tilde{u_1} [/mm] + [mm] U_2))$
[/mm]
$= [mm] f(\lambda u_1 [/mm] + [mm] \tilde{\lambda} \tilde{u_1} [/mm] + [mm] U_2)$
[/mm]
$= [mm] \lambda u_1 [/mm] + [mm] \tilde{\lambda} \tilde{u_1} [/mm] + [mm] U_1 \cap U_2$
[/mm]
$= [mm] \lambda u_1 [/mm] + [mm] U_1 \cap U_2 [/mm] + [mm] \tilde{\lambda} \tilde{u_1} [/mm] + [mm] U_1 \cap U_2$
[/mm]
$= [mm] \lambda f(u_1 [/mm] + [mm] U_2) [/mm] + [mm] \tilde{\lambda} f(\tilde{u_1} [/mm] + [mm] U_2)$,
[/mm]
was zu zeigen war.
Zur Injektivität:
Aus $0+ [mm] U_1 \cap U_2 [/mm] = [mm] f(u_1 [/mm] + [mm] U_2) [/mm] = [mm] u_1 [/mm] + [mm] U_1 \cap U_2$
[/mm]
folgt:
[mm] $u_1 \in U_1 \cap U_2 \subset U_2$,
[/mm]
also:
[mm] $u_1 [/mm] + [mm] U_2 [/mm] = 0 + [mm] U_2$,
[/mm]
womit
$Kern(f) = [mm] \{0 + U_2\} [/mm] = [mm] \{0_{(U_1 + U_2)/U_2}\}$
[/mm]
und damit die Injektivität von $f$ gezeigt sind.
Zur Surjektivität:
Diese ist trivial, denn zu beliebigem [mm] $u_1 [/mm] + [mm] U_1 \cap U_2 \in U_1/(U_1 \cap U_2)$ [/mm] gilt: [mm] $u_1 [/mm] + [mm] U_2 \in (U_1 [/mm] + [mm] U_2)/U_2$, [/mm] und nach Definition:
[mm] $f(u_1 [/mm] + [mm] U_2) [/mm] = [mm] u_1 [/mm] + [mm] U_1 \cap U_2$.
[/mm]
Viele Grüße
Stefan
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:28 Fr 14.01.2005 | | Autor: | hallo |
Hallo,
sorry, ich wollte die Antwort nicht als fehlerhaft markieren. Hab auf die falsche zahl geklickt....
Ich hab nur eine Frage. Was meinst du genau mit wohldefiniert? Was muss man denn da genau zeigen?
Danke Hallo
|
|
|
| |
|
Hallo.
> Was meinst du genau mit
> wohldefiniert? Was muss man denn da genau zeigen?
Im Falle einer Abbildung bedeutet "wohldefiniert sein" umgangssprachlich formuliert, daß wenn Du einen Wert einsetzt, Du auch´genau ein Bild erhältst, und das für alle Elemente.
Zu zeigen ist also formal: (in diesem Beispiel ist das sowieso klar) daß, falls
[mm]\phi: V \to W: \phi(v)=w_1[/mm] und [mm]\phi(v)=w_2[/mm] gilt,
[mm]w_2=w_1[/mm] für alle [mm]v \in V[/mm] gilt.
Das sieht jetzt fast genauso aus wie die Injektivität, ist aber genau der umgekehrte Fall.
Eigentlich ist es auch eine Selbstverständlichkeit bei so einfachen Abbildungen, daß nämlich eben nur ein Funktionswert rauskommt.
Ich hoffe, ich konnte etwas Licht in die Sache bringen.
Gruß,
Christian
P.S.: Ich habe die "fehlerhaft"-Markierung von Stefans Antwort genommen, sah mir doch sehr vernünftig aus, was er da vorschlägt 
|
|
|
|
