Ist Bilinearform Skalarprodukt < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:58 So 12.09.2010 | | Autor: | natascha |
| Aufgabe | Es sei V ein Vektorraum aller reellen Polynome vom Grad <= 3, und U der Unterraum der Polynome p [mm] \in [/mm] V mit p(0)=p'(0)=0. Auf V sei eine Bilinearform definiert durch B(p,q) = [mm] \integral_{0}^{1}{p(x)q(x) dx}
[/mm]
a) Ist B ein Skalarprodukt auf V?
b) Bestimmen Sie eine Basis (p1,...,pr) von U so, dass
[mm] B(p_i,q_j)=\begin{cases} 0, & \mbox{ falls }i \not= j \\ \lambda_i, & \mbox{ falls }i=j \end{cases}
[/mm]
wobei [mm] \lambda_i \in [/mm] {-1,0,1}
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Hallo,
Ich habe Probleme bei dieser Aufgabe. Ich habe bereits einige Ansätze:
a) Soweit ich weiss, beschreibt eine Matrix A eine Bilinearform die äquivalent zu Skalarprodukt ist, wenn eine Matrix P existiert, so dass [mm] A=P^{t}P
[/mm]
Das ist ein Satz aus unserem Skript, ich denke, dass man den hier anwenden muss? Dafür bräuchte ich aber die Matrix A. Dafür muss ich die Gram Matrix aufstellen, oder? Doch brauche ich dafür eine Basis?
b) Hierbei muss ich wohl diagonalisieren, d.h Eigenwerte und Eigenvektoren ausrechnen und dann erhalte ich [mm] PAP^{-1} [/mm] = D eine Diagonalmatrix, mit auf der Diagonalen Vielfache von -1,1 und 0, richtig? Oder ist hier etwas anderes gesucht?
Danke für Hilfe!!
Liebe Grüsse,
Nati
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:28 So 12.09.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo Nati!
> Es sei V ein Vektorraum aller reellen Polynome vom Grad <= 3, und U der Unterraum der Polynome p [mm]\in[/mm] V mit
> [mm]p(0)=p'(0)=0[/mm]. Auf V sei eine Bilinearform definiert durch [mm]B(p,q) = \integral_{0}^{1}{p(x)q(x) dx}[/mm]
> a) Ist B ein Skalarprodukt auf V?
> b) Bestimmen Sie eine Basis (p1,...,pr) von U so, dass
> [mm]B(p_i,q_j)=\begin{cases} 0, & \mbox{ falls }i \not= j \\ \lambda_i, & \mbox{ falls }i=j \end{cases}[/mm]
>
> wobei [mm]\lambda_i \in \{-1,0,1\}[/mm]
>
> Hallo,
>
> Ich habe Probleme bei dieser Aufgabe. Ich habe bereits
> einige Ansätze:
>
> a) Soweit ich weiss, beschreibt eine Matrix A eine
> Bilinearform die äquivalent zu Skalarprodukt ist, wenn
> eine Matrix P existiert, so dass [mm]A=P^{t}P[/mm]
> Das ist ein Satz aus unserem Skript, ich denke, dass man
> den hier anwenden muss? Dafür bräuchte ich aber die
> Matrix A. Dafür muss ich die Gram Matrix aufstellen, oder?
> Doch brauche ich dafür eine Basis?
Das könntest du so machen, aber es ist einfacher, die Eigenschaften des Skalarprodukts nachzuprüfen:
1. Symmetrie: ist $B(p,q)=B(q,p)$ ?
2. Positiv definit: ist [mm] $B(p,p)\ge [/mm] 0$, und folgt aus $B(p,p)=0$, dass $p=0$ ist?
>
> b) Hierbei muss ich wohl diagonalisieren, d.h Eigenwerte
> und Eigenvektoren ausrechnen und dann erhalte ich [mm]PAP^{-1}[/mm]
> = D eine Diagonalmatrix, mit auf der Diagonalen Vielfache
> von -1,1 und 0, richtig? Oder ist hier etwas anderes
> gesucht?
Tipp: Gram-Schmidtsches Orthogonalisierungsverfahren
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:53 So 12.09.2010 | | Autor: | natascha |
> Hallo Nati!
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> > Es sei V ein Vektorraum aller reellen Polynome vom Grad <=
> 3, und U der Unterraum der Polynome p [mm]\in[/mm] V mit
> > [mm]p(0)=p'(0)=0[/mm]. Auf V sei eine Bilinearform definiert durch
> [mm]B(p,q) = \integral_{0}^{1}{p(x)q(x) dx}[/mm]
> > a) Ist B ein
> Skalarprodukt auf V?
> > b) Bestimmen Sie eine Basis (p1,...,pr) von U so, dass
> > [mm]B(p_i,q_j)=\begin{cases} 0, & \mbox{ falls }i \not= j \\ \lambda_i, & \mbox{ falls }i=j \end{cases}[/mm]
>
> >
> > wobei [mm]\lambda_i \in \{-1,0,1\}[/mm]
> >
> > Hallo,
> >
> > Ich habe Probleme bei dieser Aufgabe. Ich habe bereits
> > einige Ansätze:
> >
> > a) Soweit ich weiss, beschreibt eine Matrix A eine
> > Bilinearform die äquivalent zu Skalarprodukt ist, wenn
> > eine Matrix P existiert, so dass [mm]A=P^{t}P[/mm]
> > Das ist ein Satz aus unserem Skript, ich denke, dass
> man
> > den hier anwenden muss? Dafür bräuchte ich aber die
> > Matrix A. Dafür muss ich die Gram Matrix aufstellen, oder?
> > Doch brauche ich dafür eine Basis?
>
> Das könntest du so machen, aber es ist einfacher, die
> Eigenschaften des Skalarprodukts nachzuprüfen:
>
> 1. Symmetrie: ist [mm]B(p,q)=B(q,p)[/mm] ?
> 2. Positiv definit: ist [mm]B(p,p)\ge 0[/mm], und folgt aus
> [mm]B(p,p)=0[/mm], dass [mm]p=0[/mm] ist?
Hallo,
Die Symmetrie ist ja gegeben, da die POlynome im Integral verschoben werden können und das Resultat gleich bleibt.
B(p,p)=0 -> p=0 gilt auch, weil das Integral ja von 0 bis 1 ist (wäre es symmetrisch würde das nicht gelten).
Wie zeige ich jedoch am besten, dass B(p,q) >= 0 ist? Oder ist das evlt gar nicht der Fall, denn es sind ja die Polynome <= 3,also auch mit einem [mm] x^{3}...
[/mm]
>
> >
> > b) Hierbei muss ich wohl diagonalisieren, d.h Eigenwerte
> > und Eigenvektoren ausrechnen und dann erhalte ich [mm]PAP^{-1}[/mm]
> > = D eine Diagonalmatrix, mit auf der Diagonalen Vielfache
> > von -1,1 und 0, richtig? Oder ist hier etwas anderes
> > gesucht?
>
> Tipp: Gram-Schmidtsches Orthogonalisierungsverfahren
Das heisst ich muss eine Basis aus Eigenvektoren finden und dann orthogonalisieren und normieren (also quasi eine Orthonormalbasis aus Eigenvektoren finden?)
Danke!
>
> Viele Grüße
> Rainer
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Du sollst nicht zeigen, dass B(p,q)>=0, sondern dass B(q,q) >=0 ist. Schreibe dir dafür doch einfach mal hin, was B(q,q) überhaupt ist, dann sollte das relativ leicht zu sehen sein, dass das ganze auf gar keinen Fall <=0 ist.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:08 So 12.09.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> > Tipp: Gram-Schmidtsches Orthogonalisierungsverfahren
> Das heisst ich muss eine Basis aus Eigenvektoren finden
> und dann orthogonalisieren und normieren (also quasi eine
> Orthonormalbasis aus Eigenvektoren finden?)
Du brauchst nicht mit einer Basis von Eigenvektoren anzufangen, wenn du das Orthogonalisierungsverfahren bezüglich $B(p,q)$ anwendest. Es reicht irgendeine Basis, z.B.
[mm]\{1,x,x^2,x^3\} [/mm]
Viele Grüße
Rainer
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