Ist Folge konvergent < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:51 Sa 31.10.2009 | | Autor: | Aniria |
| Aufgabe | untersuchen Sie die Folge [mm] (a_{n}) [/mm] in [mm] \IQ [/mm] auf Konvergenz:
[mm] a_{n} [/mm] = (n+7)² / (2n²+2n³+5) für n [mm] \in \IN [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Also hier ist mein Lösungsforschlag (hoffentlich richtiger)
Sei [mm] \varepsilon>0, [/mm] gesucht [mm] n_{0} \in \IN [/mm] mit [mm] Ia_{n} [/mm] -aI [mm] \le \varepsilon [/mm] für jedes n [mm] \ge n_{0}
[/mm]
also für a haben wir gesagt, dass wir für n eine sehr große Zahl einsetzen sollen, dann kommt raus: n²/ (2n² +2n³)= 1/2n
I (n+7)² / (2n²+2n³+5) - 1/2n I = (n²+14n+49)/(2n²+2n³) - n²/2n³I =
I2n³(n²+14n+49) -2n³(n+n²) / (2n³(n²+n³))I = I(13n+49) / (n²+n³) I=
I62n / (n²+n³) I = I62/(n+n²) [mm] \le \varepsilon
[/mm]
n+n² > I_ 32/ [mm] \varepsilon [/mm] _I +1
wie geht es weiter?
|
|
| |
|
Hi, Aniria,
> untersuchen Sie die Folge [mm](a_{n})[/mm] in [mm]\IQ[/mm] auf Konvergenz:
>
> [mm]a_{n}[/mm] = (n+7)² / (2n²+2n³+5) für n [mm]\in \IN[/mm]
> Ich habe
> diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten
> gestellt.
>
> Also hier ist mein Lösungsforschlag (hoffentlich
> richtiger)
>
> Sei [mm]\varepsilon>0,[/mm] gesucht [mm]n_{0} \in \IN[/mm] mit [mm]Ia_{n}[/mm] -aI [mm]\le \varepsilon[/mm]
> für jedes n [mm]\ge n_{0}[/mm]
> also für a haben wir gesagt, dass
> wir für n eine sehr große Zahl einsetzen sollen, dann
> kommt raus: n²/ (2n² +2n³)= 1/2n
Der "Grenzwert" kann doch nicht von n abhängen!
Wenn Du n "sehr groß" wählst, bemerkst Du: 1/2n wird "sehr klein".
Daher: Grenzwert a = 0.
mfG!
Zwerglein
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:23 Sa 31.10.2009 | | Autor: | Aniria |
| Aufgabe | | Nach deinem Vorschlag habe ich meine Rechnung verbessert, ist es nun richtig???? |
a=0
[mm] Ia_{n}-oI \le \varepsilon [/mm] also [mm] Ia_{n}-0I \le \varepsilon [/mm]
I (n+7)²/(2n²+2n³+5) I = I (n²+14n+49) / (n²(2+2n)) I =
I n²(1+14+49) / n²(2+2n) I = I 64 / 2+2nI = 32/nI [mm] \le \varepsilon [/mm] ,
zB. wenn n > I_ 32/ [mm] \varepsilon [/mm] _I +1, wähle daher [mm] n_{0} [/mm] = I_ 32/n _I +1
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:38 Sa 31.10.2009 | | Autor: | abakus |
> Nach deinem Vorschlag habe ich meine Rechnung verbessert,
> ist es nun richtig????
>
> a=0
>
> [mm]Ia_{n}-oI \le \varepsilon[/mm] also [mm]Ia_{n}-0I \le \varepsilon[/mm]
>
> I (n+7)²/(2n²+2n³+5) I = I (n²+14n+49) / (n²(2+2n)) I
> =
> I n²(1+14+49) / n²(2+2n) I = I 64 / 2+2nI = 32/nI [mm]\le \varepsilon[/mm]
Autsch, das ist grottenfalsch.
Das Ausklammern von [mm] n^2 [/mm] aus [mm] (n^2+14n+49) [/mm] liefert [mm] n^2(1+\bruch{14}{n}+\bruch{49}{n^2}).
[/mm]
Hier musst du nicht mit Epsilon rechnen.
Der Term [mm] \bruch{n^2+14n+49}{2n^2+2n^3+5} [/mm] lässt sich durch Ausklammern von [mm] n^3 [/mm] in Zähler und Nenner und anschließendem Kürzen vereinfachen:
[mm] \bruch{n^2+14n+49}{2n^2+2n^3+5}= \bruch{n^3(\bruch{1}{n}+\bruch{14}{n^2}+\bruch{49}{n^3}}{n^3(\bruch{2}{n}+2+\bruch{5}{n^3}}=\bruch{\bruch{1}{n}+\bruch{14}{n^2}+\bruch{49}{n^3}}{\bruch{2}{n}+2+\bruch{5}{n^3}}
[/mm]
und nach Grenzwertsätzen gilt
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{\bruch{1}{n}+\bruch{14}{n^2}+\bruch{49}{n^3}}{\bruch{2}{n}+2+\bruch{5}{n^3}} =\bruch{0+0+0}{0+2+0}
[/mm]
Gruß Abakus
> ,
> zB. wenn n > I_ 32/ [mm]\varepsilon[/mm] _I +1, wähle daher [mm]n_{0}[/mm]
> = I_ 32/n _I +1
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:44 Sa 31.10.2009 | | Autor: | Aniria |
als ist aus n²+14n+49 n² ausklammere und bekomme n²(1+14+49) benutze ich folgendes, was wir in Vorlesung hatten: ich schätzen den Teil 14n + 49 nach oben ab,
so zum beispiel wird in unsere Vorlesung aus 2n+1-> 2n+n oder 2n+2n
meinst du es währe falsch?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:49 Sa 31.10.2009 | | Autor: | abakus |
>
> als ist aus n²+14n+49 n² ausklammere und bekomme
> n²(1+14+49) benutze ich folgendes, was wir in Vorlesung
> hatten: ich schätzen den Teil 14n + 49 nach oben ab,
> so zum beispiel wird in unsere Vorlesung aus 2n+1-> 2n+n
> oder 2n+2n
>
> meinst du es währe falsch?
Dann darfst du deine Ungleichungskette an dieser Stelle aber nicht mit GLEICHheitszeichen weiterführen.....
Gruß Abakus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:52 Sa 31.10.2009 | | Autor: | Aniria |
Also, wäre es ansonsten dann richtig?
und was muss ich da dann schreiben, denn unser Prof. schreibt =
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:55 Sa 31.10.2009 | | Autor: | Aniria |
| Aufgabe | | dann habe ich noch weitere Beispiele für die ich dasselbe machen muss |
bei manchen habe ich am ende eine Zahl stehen etwas so | [mm] a_{n}-a [/mm] | =...=...=...|1| kann das sein und wenn ja, was bedeutet das?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:00 Sa 31.10.2009 | | Autor: | abakus |
> dann habe ich noch weitere Beispiele für die ich dasselbe
> machen muss
> bei manchen habe ich am ende eine Zahl stehen etwas so I
> [mm]a_{n}-aI[/mm] =...=...=...I1I kann das sein und wenn ja, was
> bedeutet das?
Hallo, deine Beiträge werden wesentlich lesbarer, wenn du den Formeleditor des Forums verwendest, wenigstens aber die Betragsstriche nicht mit I...I, sondern mit |...| schreibst (AltGr und < verwenden).
|
|
|
| |
|
> bei manchen habe ich am ende eine Zahl stehen etwas so |[mm]a_{n}-a[/mm] | =...=...=...|1| kann das sein und wenn ja, was
> bedeutet das?
Hallo,
wenn Du wirklich dastehen hast, daß [mm] |a_n-a|=1 [/mm] ist für alle n, dann bedeutet das, daß a ganz sicher kein Grenzwert der Folge ist, denn alle Folgenglieder [mm] a_n [/mm] halten von a den Abstand 1 ein.
Um Genaueres zu erfahren, müßtest du Aufgaben und Rechnung posten.
Meine Kristallkugel versagt jämmerlich.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:33 Sa 31.10.2009 | | Autor: | Aniria |
| Aufgabe | | [mm] a_{n}=n^{(-1)^{n}} [/mm] für n [mm] \in \IN [/mm] |
sei [mm] \varepsilon>0 [/mm] mit
[mm] |a_{n}-a|\le \varepsilon
[/mm]
a schätze ich nach oben ab und bekomme a=n
dann [mm] |n^{(-1)^{n}}-n|= |n^{1}-n|= [/mm] |n-n|=|0| richtig?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:38 Sa 31.10.2009 | | Autor: | abakus |
> [mm]a_{n}=n^{(-1)^{n}}[/mm] für n [mm]\in \IN[/mm]
> sei [mm]\varepsilon>0[/mm] mit
> [mm]|a_{n}-a|\le \varepsilon[/mm]
> a schätze ich nach oben ab und
> bekomme a=n
> dann [mm]|n^{(-1)^{n}}-n|= |n^{1}-n|=[/mm] |n-n|=|0| richtig?
Und was soll das? "n" ist doch kein Grenwert, weil es keine feste Zahl ist.
Die Folge (1; 2; 1/3; 4; 1/5; 6; 1/7; 8; ...) divergiert, weil sie eine divergente Teilfolge (2; 4; 6; 8; ...) enthält.
Gruß Abakus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:45 Sa 31.10.2009 | | Autor: | Aniria |
| Aufgabe | | dann schreib mir bitte dann wie ich es anders machen soll, da mir ansonsten nichts anderes einfählt |
ich meine wenn ich ein grenzwert von n abschätzen soll, es ist ja die unendlichkeit...!
|
|
|
| |
|
> dann schreib mir bitte dann wie ich es anders machen soll,
> da mir ansonsten nichts anderes einfählt
Hallo,
wie Du es machen sollst, hat abakus doch schon gesagt:
zeige, daß die Folge eine nicht konvergente Teilfolge enthält. (Für gerade n ist immer [mm] a_n=n)
[/mm]
Nun kannst Du einen Satz aus der Vorlesung zücken, mit welchem Du erhältst, daß die Folge nicht konvergiert.
Du kannst, wenn Du magst, aber auch einen Beweis durch Widerspruch führen, so etwas schwebte Dir vielleicht vor.
Wenn die Folge konvergiert, dann ist ihr Grenzwert sicher nicht kleiner als 0.
Angenommen die Folge [mm] (n^{(-1)^n}) [/mm] wäre konvergent mit Grenzwert [mm] a\ge [/mm] 0.
Zu [mm] \varepsilon= \bruch{1}{2} [/mm] gäbe es dann ein [mm] N\in \IN [/mm] mit [mm] |n^{(-1)^n} [/mm] - [mm] a|<\varepsilon=\bruch{1}{2}.
[/mm]
Es gibt ein [mm] n_1\in \IN [/mm] mit [mm] n_1>a+1.
[/mm]
Sein [mm] n':=max\{N, n_1\}.
[/mm]
Dann ist [mm] |(2n')^{(-1)^{2n'}} [/mm] - a|=|2n'-a| >2a+2-a>2. Widerspruch. (Es hätte ja kleiner als [mm] \bruch{1}{2} [/mm] sein sollen).
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:04 So 01.11.2009 | | Autor: | Aniria |
| Aufgabe | | irgendwie verstehe ich gar nichts, versuchen wir doch mit dem letzten beispiel, wobei ich jeden meine Schritte erkläre und dann gucken kann, wo ich eigentlich etwas nicht Verstanden habe. |
[mm] a_{n}= \frac{(-2)^{n}+3^{n}}{(-2)^{n+1}+3^{n+1}}
[/mm]
[mm] |a_{n}-a|=|a_{n}-1|\ge\varepsilon
[/mm]
a schätze ich ab, wobei ich sehr große Zahl für n einsetze und habe 1 rausbekommen. Richtig oder falsch?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:26 So 01.11.2009 | | Autor: | abakus |
> irgendwie verstehe ich gar nichts, versuchen wir doch mit
> dem letzten beispiel, wobei ich jeden meine Schritte
> erkläre und dann gucken kann, wo ich eigentlich etwas
> nicht Verstanden habe.
> [mm]a_{n}= \frac{(-2)^{n}+3^{n}}{(-2)^{n+1}+3^{n+1}}[/mm]
>
> [mm]|a_{n}-a|=|a_{n}-1|\ge\varepsilon[/mm]
>
> a schätze ich ab, wobei ich sehr große Zahl für n
> einsetze und habe 1 rausbekommen. Richtig oder falsch?
Eine mit Excel erstellte Wertetabelle sollte deine Frage beantworten:
n [mm] & a_n
[/mm]
1 0,076923077
2 0,684210526
3 0,195876289
4 0,45971564
5 0,266078184
6 0,385138417
7 0,30203902
8 0,355589171
9 0,319128394
10 0,3430802
Ich empfehle dir, Zähler und Nenner durch [mm] 3^n [/mm] zu teilen. Du erhältst
[mm]a_{n}= \frac{(-2/3)^{n}+1}{(-2)*(-2/3)^{n}+3}[/mm]
Der Grnzwert für [mm] (-2/3)^{n} [/mm] dürfte bekannt sein.
Gruß Abakus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:35 So 01.11.2009 | | Autor: | Aniria |
| Aufgabe | | also, dir zu folge... |
> Ich empfehle dir, Zähler und Nenner durch [mm]3^n[/mm] zu teilen.
> Du erhältst
> [mm]a_{n}= \frac{(-2/3)^{n}+1}{(-2)*(-2/3)^{n}+3}[/mm]
>
Der Grnzwert für [mm] (-2/3)^{n} [/mm] ist jetzt aber 0. Richtig?
und ich muss [mm] nun:|\frac{(-2/3)^{n}+1}{(-2)*(-2/3)^{n}+3} -0|\le\varepsilon
[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:47 So 01.11.2009 | | Autor: | abakus |
> also, dir zu folge...
> > Ich empfehle dir, Zähler und Nenner durch [mm]3^n[/mm] zu
> teilen.
> > Du erhältst
> > [mm]a_{n}= \frac{(-2/3)^{n}+1}{(-2)*(-2/3)^{n}+3}[/mm]
> >
> Der Grnzwert für [mm](-2/3)^{n}[/mm] ist jetzt aber 0. Richtig?
Ja. Deshalb ist der Grenzwert deines Terms [mm] \frac{0+1}{(-2)*0+3}=1/3 [/mm] (und nicht Null).
>
> und ich muss [mm]nun:|\frac{(-2/3)^{n}+1}{(-2)*(-2/3)^{n}+3} -0|\le\varepsilon[/mm]
>
>
>
>
>
>
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:03 So 01.11.2009 | | Autor: | Aniria |
| Aufgabe | | ok, also weiter... |
[mm] |\frac{(-2/3)^{n}+1}{(-2)*(-2/3)^{n}+3} [/mm] - [mm] \frac{1}{3}|=
[/mm]
[mm] |\frac{(-2/3)^{n}+1}{(-2)*(-2/3)^{n}} [/mm] - [mm] \frac{1}{3}| [/mm] (ich kann +3 bei dem Bruch weglassen, da ich damit den Bruch gößer mache, ja?
[mm] =|\frac{(-2/3)^{n}}{(-2)*(-2/3)^{n}} +\frac{1}{(-2)*(-2/3)^{n}} [/mm] - [mm] \frac{1}{3}|=
[/mm]
[mm] |-\frac{1}{2} +\frac{1}{(-2)*(-2/3)^{n}}-\frac{1}{3}|=
[/mm]
[mm] |\frac{1}{(-2)*(-2/3)^{n}}-\frac{5}{6}|
[/mm]
ist es soweit richtig? wenn ja, ein tip zum weiterrechnen?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:16 So 01.11.2009 | | Autor: | abakus |
> ok, also weiter...
> [mm]|\frac{(-2/3)^{n}+1}{(-2)*(-2/3)^{n}+3}[/mm] - [mm]\frac{1}{3}|=[/mm]
>
> [mm]|\frac{(-2/3)^{n}+1}{(-2)*(-2/3)^{n}}[/mm] - [mm]\frac{1}{3}|[/mm] (ich
> kann +3 bei dem Bruch weglassen, da ich damit den Bruch
> gößer mache, ja?
Immer die gleichen formalen Fehler. Wenn du schon so vorgehst (nur einen Term zu verändern), hast du keine Gleichungs- sondern eine Ungleichungskette.
Außerdem kann durch das Kleinermachen des Nenner ein positiver Nenner zu einem negativen Nenner werden (was einen ursprunglich positiven Bruch NICHT vergrößert, sondern verkleinert.
Deine ständige formale Epsilon-Schaukelei ist überhaupt nicht erforderlich, wenn der Grenzwert schon längst durch bekannte Grenzwertsätze ermittelt wurde
>
> [mm]=|\frac{(-2/3)^{n}}{(-2)*(-2/3)^{n}} +\frac{1}{(-2)*(-2/3)^{n}}[/mm]
> - [mm]\frac{1}{3}|=[/mm]
>
> [mm]|-\frac{1}{2} +\frac{1}{(-2)*(-2/3)^{n}}-\frac{1}{3}|=[/mm]
>
> [mm]|\frac{1}{(-2)*(-2/3)^{n}}-\frac{5}{6}|[/mm]
>
> ist es soweit richtig? wenn ja, ein tip zum weiterrechnen?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:52 Sa 31.10.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Aniria!
> als ist aus n²+14n+49 n² ausklammere und bekomme n²(1+14+49)
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Das solltest Du aber nicht erhalten, da es falsch ist. Es gilt:
[mm] $$n^2+14*n+49 [/mm] \ = \ [mm] n^2*\left(1+\bruch{14}{n}+\bruch{49}{n^2}\right)$$
[/mm]
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:06 Sa 31.10.2009 | | Autor: | Aniria |
> Hallo Aniria!
>
>
> > als ist aus n²+14n+49 n² ausklammere und bekomme
> n²(1+14+49)
>
> Das solltest Du aber nicht erhalten, da es falsch
> ist. Es gilt:
>
> [mm]n^2+14*n+49 \ = \ n^2*\left(1+\bruch{14}{n}+\bruch{49}{n^2}\right)[/mm]
>
> Gruß
> Loddar
>
Loddar,
ich habe gerade erklärt, dass in der Vorlesung unser Proffesor, bei so einer Stelle wi folgt weiter gerechnet hat:
er hat 2n+1 zu 2n+n zu 2n+2n erweitert, dasselbe mach ich auch:
ich erweitere bzw. schätze nach ober ab. n²+14n+49 zu n²14n²+49n²
|
|
|
|
