Ist Lösungsmenge vorhanden ? < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:35 So 07.10.2012 | | Autor: | betina |
| Aufgabe | Berechne den Betrag 2 + |x+3| < 3 und untersuche wo die Intervalle dieser
Betragsungleichung liegen. |
Hallo
es geht dieses mal wieder um das Thema Betragsungleichung....
Hier brauche ich einen Tipp von euch !
, wie ich so schnell wie möglich anhand der errechneten Bedingung und des Ergebnisses dieses Betragsfalles, erkennen kann ob eine gemeinsame/r Lösungsmenge bzw. Intervallbereich vorhanden ist oder nicht. OHNE dabei Zeichnen zu müssen.
Im Fall wo x+3 [mm] \ge [/mm] 0 ist und somit die Bedingung lautet dass x [mm] \ge [/mm] -3 sein muss.
Als Ergebnis unter meiner Annahme, dass x [mm] \ge [/mm] -3 ist, erhalte ich beim lösen der Betragsungleichung das Ergebnis x < -2
Fall 1 -> Bedingung x [mm] \ge [/mm] -3 und Ergebnis x < -2 Jetzt die Frage stellen kann das überhaupt stimmen?
Dazu zeichne ich mir immer einen Zahlenstrahl in dem ich die Bedingung und das Ergebnis einzeichne und dadurch sehe, dass hier in dem Fall ein gemeinsamer Intervallbereich vorhanden ist und somit die Lösungsmenge lautet L = [-3;2) Die Bedingung wurde erfüllt
Angenommen ich würde bei einer anderen Betragsungleichung als Bedingung x > 1 und als Ergebnis x [mm] \le \bruch{1}{2} [/mm] erhalte steht da leere Lösugsmenge L = { }.
ERST NACH DEM ich ein ZAHLENSTRAHL GEZEICHNET habe, habe ich erkannt warum hier keine Lösungsmenge vorhanden sein kann.
Wie kann ich das aber auch ohne gezeichneten Zahlenstrahl direkt an der Bedingung und des Eregbnisses erkennen ob eine Lösung vorhanden ist oder nicht ?
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Hallo betina,
mit ein bisschen Logik und ein bisschen Vorstellungsvermögen solltest Du auch ohne Zeichnen die Aufgabe(n) lösen können.
> Berechne den Betrag 2 + |x+3| < 3 und untersuche wo die
> Intervalle dieser
> Betragsungleichung liegen.
Heißt die Aufgabe wirklich so? Tolle Formulierung...
> es geht dieses mal wieder um das Thema
> Betragsungleichung....
>
> Hier brauche ich einen Tipp von euch !
>
> , wie ich so schnell wie möglich anhand der errechneten
> Bedingung und des Ergebnisses dieses Betragsfalles,
> erkennen kann ob eine gemeinsame/r Lösungsmenge bzw.
> Intervallbereich vorhanden ist oder nicht. OHNE dabei
> Zeichnen zu müssen.
>
> Im Fall wo x+3 [mm]\ge[/mm] 0 ist und somit die Bedingung lautet
> dass x [mm]\ge[/mm] -3 sein muss.
>
> Als Ergebnis unter meiner Annahme, dass x [mm]\ge[/mm] -3 ist,
> erhalte ich beim lösen der Betragsungleichung das Ergebnis
> x < -2
>
> Fall 1 -> Bedingung x [mm]\ge[/mm] -3 und Ergebnis x < -2 Jetzt die
> Frage stellen kann das überhaupt stimmen?
Es geht dann, wenn Du eine Ungleichungskette aufstellen kannst, die beide Ungleichungen erfüllt.
Mal allgemein: gilt z.B. x>a, x<b, dann ist die Kette a<x<b und kann nur stimmen, wenn a<b ist.
Bei x>a, b<x gilt [mm] \max{(a,b)}
Überleg Dir mal alle möglichen Fälle. Es sind nicht so viele.
> Dazu zeichne ich mir immer einen Zahlenstrahl in dem ich
> die Bedingung und das Ergebnis einzeichne und dadurch sehe,
> dass hier in dem Fall ein gemeinsamer Intervallbereich
> vorhanden ist und somit die Lösungsmenge lautet L = [-3;2)
Nicht 2 - hier muss doch -2 stehen!
Übrigens kannst Du Dir ggf. auch einfach den Zahlenstrahl und die Zeichnung vorstellen, oder?
> Die Bedingung wurde erfüllt
>
> Angenommen ich würde bei einer anderen Betragsungleichung
> als Bedingung x > 1 und als Ergebnis x [mm]\le \bruch{1}{2}[/mm]
> erhalte steht da leere Lösugsmenge L = { }.
>
> ERST NACH DEM ich ein ZAHLENSTRAHL GEZEICHNET habe, habe
> ich erkannt warum hier keine Lösungsmenge vorhanden sein
> kann.
Tja, das ist wohl einfach Übungssache. Hier ist aber auch keine sinnvolle Ungleichungskette möglich. Sie müsste ja lauten
[mm] 1
Das gilt aber eben nicht.
> Wie kann ich das aber auch ohne gezeichneten Zahlenstrahl
> direkt an der Bedingung und des Eregbnisses erkennen ob
> eine Lösung vorhanden ist oder nicht ?
Wie gesagt: Ungleichungskette. Kann x gleichzeitig größer als -4 und kleiner als 2 sein? Ja. Kann x größer als 3 und kleiner als 2 sein? Nein.
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:17 So 07.10.2012 | | Autor: | betina |
Guten Morgen reverend
also bei deinem ersten Satz " mit ein bisschen Logik" musste ich grinsen, da ich mir mehr als sicher war, dass so ein Satz mit dem Begriff "Logik" kommen wird. Wo du wirklich mehr als Recht hast!
Aber du hast mir eine sehr gute Vorgehensweise mit der Ungleichungskette gegeben. Ich werde dann immer zuerst die Ungleichungskette aufschreiben und dann das x in der Mitte weglassen unm so zu gucken ob das stimmen kann.
Bei deiner letzten Aussage "Kann x größer als 3 und kleiner als 2 sein? Nein." -> Ungleichungskette von x > 3 und x < 2 aufstellen 3 < x < 2 das x weglassen, wodurch dann nur die Aussage stehen bleibt "3 < 2" was nicht stimmt, das 3 schließlich nicht kleiner als 2 ist. Somit keine Lösungsmenge vorhanden.
Richtiges vorgehen, nach deinem Vorschlag mit der Ungleichunsgkette?
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Hallo betina,
> also bei deinem ersten Satz " mit ein bisschen Logik"
> musste ich grinsen, da ich mir mehr als sicher war, dass so
> ein Satz mit dem Begriff "Logik" kommen wird. Wo du
> wirklich mehr als Recht hast!
Ich hatte gehofft, dass Du mindestens schmunzeln würdest. 
> Aber du hast mir eine sehr gute Vorgehensweise mit der
> Ungleichungskette gegeben. Ich werde dann immer zuerst die
> Ungleichungskette aufschreiben und dann das x in der Mitte
> weglassen unm so zu gucken ob das stimmen kann.
Sofern das x überhaupt in der Mitte zu stehen kommt...
$x>7$ und [mm] x\ge{9} [/mm] wäre ja so ein Fall, wo man anders vorgehen müsste. Trotzdem bleibt die "Methode Ungleichungskette" nützlich.
> Bei deiner letzten Aussage "Kann x größer als 3 und
> kleiner als 2 sein? Nein." -> Ungleichungskette von x > 3
> und x < 2 aufstellen 3 < x < 2 das x weglassen, wodurch
> dann nur die Aussage stehen bleibt "3 < 2" was nicht
> stimmt, das 3 schließlich nicht kleiner als 2 ist. Somit
> keine Lösungsmenge vorhanden.
Genau. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Richtiges vorgehen, nach deinem Vorschlag mit der
> Ungleichunsgkette?
Ja.
Grüße
reverend
PS: "Guten Morgen" ist auch gut. Ich muss noch ca. 30 Minuten arbeiten, damit ich für morgen früh hinreichend vorbereitet bin... Dann wollte ich aber doch noch ein bisschen schlafen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:58 So 07.10.2012 | | Autor: | betina |
Dann wünsch ich dir noch eine gute Nacht bzw. einen guten Schlaf 
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:09 So 07.10.2012 | | Autor: | fred97 |
2 + |x+3| < 3 [mm] \gdw [/mm] |x+3| < 1 [mm] \gdw [/mm] -1<x+3<1.
Jetzt Du
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:38 So 07.10.2012 | | Autor: | betina |
Hallo Fred
Mein Ergebnis kontrolliert ihr immer und sagt mir immer ob mein Ergebnis richtig bei eurer Aufgabenstellung auch richtig ist.
Also zur Aufgabe die ja lautet 2 + | x+3| < 3 [mm] \gdw [/mm] | x+3| < 1 ok bis hie hin hast du die Ungleichung vereinfacht.
Jetzt zu Fall 1
x + 3 [mm] \ge [/mm] 0 [mm] \gdw [/mm] [mm] x\ge [/mm] -3 und daraus folgt x < -2
Aus [mm] x\ge [/mm] -3 und x < -2 die Ungleichungskette bilden
Ungleichungskette - 3 [mm] \le [/mm] x < -2
Um zu kontrollieren ob das überhaupt stimmen kann und es einen gemeinsamen Intervallbereich im Fall 1 gibt, lasse ich das "x" in der Mitte weg wodurch da nur noch -3 < - 2 steht . Und das stimmt ja, da die -3 natürlich < als -2 ist. Also ist eine Lösungsmenge vorhanden.
Lösungsmenge lautet somit [-3;-2)
Jetzt verstehe ich aber nicht wie du die Ungleichungskette -1 [mm] \le [/mm] x + 3 < 1 kommst. Ok: das "x+3" hast du hier einfach aus der Betragsungsungleichung übertragen und hier dazu hingeschrieben
Und schreibst du "Jetzt du" . Ich weiss ehrlich gesagt nicht was du meinst was ich jetzt weiter zu machen habe :-(
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Hallo betina,
> Hallo Fred
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> Mein Ergebnis kontrolliert ihr immer und sagt mir immer ob
> mein Ergebnis richtig bei eurer Aufgabenstellung auch
> richtig ist.
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> Also zur Aufgabe die ja lautet 2 + | x+3| < 3 [mm]\gdw[/mm] | x+3|
> < 1 ok bis hie hin hast du die Ungleichung vereinfacht.
>
> Jetzt zu Fall 1
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> x + 3 [mm]\ge[/mm] 0 [mm]\gdw[/mm] [mm]x\ge[/mm] -3 und daraus folgt x < -2
>
> Aus [mm]x\ge[/mm] -3 und x < -2 die Ungleichungskette bilden
>
> Ungleichungskette - 3 [mm]\le[/mm] x < -2
>
> Um zu kontrollieren ob das überhaupt stimmen kann und es
> einen gemeinsamen Intervallbereich im Fall 1 gibt, lasse
> ich das "x" in der Mitte weg wodurch da nur noch -3 < - 2
> steht . Und das stimmt ja, da die -3 natürlich < als -2
> ist. Also ist eine Lösungsmenge vorhanden.
>
> Lösungsmenge lautet somit [-3;-2)
>
> Jetzt verstehe ich aber nicht wie du die Ungleichungskette
> -1 [mm]\le[/mm] x + 3 < 1 kommst. Ok: das "x+3" hast du hier einfach
> aus der Betragsungsungleichung übertragen und hier dazu
> hingeschrieben
>
Da ist die Betragsungleichung aufgesplittet worden.
Für den Fall [mm]x+3\ge0[/mm] lautet sie: x+3 < 1
Für den Fall x+3 <0 lautet sie: [mm]-(x+3) < 1 \gdw x+3 > -1[/mm]
Zusammen ergibt das:
[mm]-1 < x+3 < 1[/mm]
> Und schreibst du "Jetzt du" . Ich weiss ehrlich gesagt
> nicht was du meinst was ich jetzt weiter zu machen habe :-(
Dein Part ist jetzt noch die Lösung für den Fall x+3 < 0 zu ermitteln.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:16 So 07.10.2012 | | Autor: | betina |
Hallo Mathepower,
also lieber Mathepower, so wie ich dich verstehe:
Fall 1 wie du geschrieben hast
x + 3 [mm] \ge [/mm] 0 ok ist klar. (das würde ich aber noch nach x umstellen, wodurch ich x [mm] \ge [/mm] -3 erhalte. Hast du nicht hingeschrieben)
Ausgangsgleichung 2 + |x+3| < 3 vereinfacht zu |x+3| < 1 ist klar.
(Du hast jetzt |x+3| < 1 hier einfach stehen gelassen. Ich würde aber jetzt die betragszeichen weglassen (wegen x + 3 [mm] \ge [/mm] 0)u nd x + 3 < 1 nach x umstellen wobei für x < -2 rauskommt) Hast du nicht hingeschrieben..?
Ich mach mal weiter wie du geschrieben hast
Fall 2 heisst es dass x+ 3 < 0 (Ok.)
(jetzt würde ich noch das x+ 3 < 0 nach x umstellen wodurch ich x < -3 erhalte. Dieser Schritt hast du nicht aufgeschrieben ...??)
Da im Fall 2 gilt, dass x+ 3 < 0 sein soll ist der Term im Betrag negativ. Also ein Minus vor die Klammer.
Also ein Minus vor dem Betrag der Ausgangsungleichung
2 + |x+3| < 3 vereinfacht zu |x+3| < 1 dafür hast du -(x+3) < 1 hingeschrieben. Ok.
Jetzt würde ich aber -(x+3) < 1 auflösen und nach x umstellen, also -x-3< 1 und erhalte dafür x > -4 (Das hast du aber nicht aufgeschrieben..?)
du hast nur das Minus vor der Klammer -(x+3) < 1 hingeschrieben und das dann äquvalent umgeformt zu x + 3 > - 1. Habe ich nachvollzogen wie das gemacht werden muss.
Wenn ich jetzt deine Ungleichung wie du sie geschrieben hast das x berechne x + 3 [red] > - 1 --> x > -1 -3 erhalte ich für x ebenfalls x > -4, wie ich oben erhalten habe.
Ist jetzt das was ich gerechnet habe falsch ? Bei mir steht genau folgendes auf meinem Blatt:
Fall 1 :
x + 3 [mm] \ge [/mm] 0
x [mm] \ge [/mm] -3
|x + 3 | positiv, da x [mm] \ge [/mm] -3 -> Betragsstriche in der Ausganggleichung weglassen.
2 + |x+3| < 3
2 + x+3 < 3
x < - 2
Ungleichungskette -3 [mm] \le [/mm] x < -2
Lösungsmenge zu Fall 1 L = [-3;-2)
Fall 2:
x + 3 < 0
x < -3
|x + 3 | minuszeichen davor, da x < -3 -> Betragsstriche in der Ausganggleichung weglassen.
2 - |x+3| < 3
2 - x - 3 < 3
x > - 4
Ungleichungskette - 4 x < - 3
L für Fall 2 L = (-4;-3)
Jetzt sag mir bitte nicht, dass das was ich da hingeschrieben habe doch falsch ist.
Du hast nämlich an manchen Stellen was weggelassen bzw. hast manchmal was anderes stehen als ich...
Was ist jetzt falsch bei mir?
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Hallo betina,
> Hallo Mathepower,
>
> also lieber Mathepower, so wie ich dich verstehe:
>
> Fall 1 wie du geschrieben hast
>
> x + 3 [mm]\ge[/mm] 0 ok ist klar. (das würde ich aber noch nach x
> umstellen, wodurch ich x [mm]\ge[/mm] -3 erhalte. Hast du nicht
> hingeschrieben)
>
> Ausgangsgleichung 2 + |x+3| < 3 vereinfacht zu |x+3| < 1
> ist klar.
>
> (Du hast jetzt |x+3| < 1 hier einfach stehen gelassen. Ich
> würde aber jetzt die betragszeichen weglassen (wegen x + 3
> [mm]\ge[/mm] 0)u nd x + 3 < 1 nach x umstellen wobei für x < -2
> rauskommt) Hast du nicht hingeschrieben..?
>
> Ich mach mal weiter wie du geschrieben hast
>
> Fall 2 heisst es dass x+ 3 < 0 (Ok.)
>
> (jetzt würde ich noch das x+ 3 < 0 nach x umstellen
> wodurch ich x < -3 erhalte. Dieser Schritt hast du nicht
> aufgeschrieben ...??)
>
> Da im Fall 2 gilt, dass x+ 3 < 0 sein soll ist der Term im
> Betrag negativ. Also ein Minus vor die Klammer.
>
> Also ein Minus vor dem Betrag der Ausgangsungleichung
> 2 + |x+3| < 3 vereinfacht zu |x+3| < 1 dafür hast du
> -(x+3) < 1 hingeschrieben. Ok.
>
> Jetzt würde ich aber -(x+3) < 1 auflösen und nach x
> umstellen, also -x-3< 1 und erhalte dafür x > -4 (Das hast
> du aber nicht aufgeschrieben..?)
>
> du hast nur das Minus vor der Klammer -(x+3) < 1
> hingeschrieben und das dann äquvalent umgeformt zu x + 3 >
> - 1. Habe ich nachvollzogen wie das gemacht werden muss.
>
> Wenn ich jetzt deine Ungleichung wie du sie geschrieben
> hast das x berechne x + 3 > - 1 --> x > -1 -3 erhalte ich
> für x ebenfalls x > -4, wie ich oben erhalten habe.
>
Hier ist noch zu berücksichtigen, daß x <-3.
Demnach ergibt sich die Lösungsmenge zu: [mm]L_{2}=\left(-4,-3\right)[/mm]
> Ist jetzt das was ich gerechnet habe falsch ? Bei mir steht
> genau folgendes auf meinem Blatt:
>
> Fall 1 :
> x + 3 [mm]\ge[/mm] 0
> x [mm]\ge[/mm] -3
>
> |x + 3 | positiv, da x [mm]\ge[/mm] -3 -> Betragsstriche in der
> Ausganggleichung weglassen.
>
> 2 + |x+3| < 3
> 2 + x+3 < 3
> x < - 2
>
> Ungleichungskette -3 [mm]\le[/mm] x < -2
> Lösungsmenge zu Fall 1 L = [-3;-2)
>
> Fall 2:
>
> x + 3 < 0
> x < -3
>
> |x + 3 | minuszeichen davor, da x < -3 -> Betragsstriche in
> der Ausganggleichung weglassen.
>
> 2 - |x+3| < 3
> 2 - x - 3 < 3
> x > - 4
>
> Ungleichungskette - 4 x < - 3
> L für Fall 2 L = (-4;-3)
>
> Jetzt sag mir bitte nicht, dass das was ich da
> hingeschrieben habe doch falsch ist.
> Du hast nämlich an manchen Stellen was weggelassen bzw.
> hast manchmal was anderes stehen als ich...
>
> Was ist jetzt falsch bei mir?
>
>
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:52 So 07.10.2012 | | Autor: | betina |
Wie muss ich das mit dem ganzen rotmarkierten Text verstehen?
Und was ist mit meiner letzten und wichtigsten Frage, ob ich nun das was ich auf mein Blatt zusammengefasst geschrieben habe, so stehen lassen kann?
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Hallo betina,
> Wie muss ich das mit dem ganzen rotmarkierten Text
> verstehen?
>
Das sind die Lösungsmengen für die einzelnen Fälle.
> Und was ist mit meiner letzten und wichtigsten Frage, ob
> ich nun das was ich auf mein Blatt zusammengefasst
> geschrieben habe, so stehen lassen kann?
>
Die gesamte Lösungsmenge ist schon noch anzugegeben:
[mm]L_{gesamt}=\left(-4,-3\right) \cup \left[-3,-2\right)[/mm]
Das kann noch weiter vereinfacht werden zu:
[mm]L_{gesamt}=\left(-4,-2\right)[/mm]
Gruss
MathePower
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:50 So 07.10.2012 | | Autor: | fred97 |
Für a [mm] \in \IR [/mm] und b [mm] \ge [/mm] 0 gilt:
|a|<b genau dann , wenn -b<a<b ist.
Mach Dir das klar.
Damit sind wir bei
-1<x+3<1
Mit "jetzt Du" habe ich gemeint, dass Du in obiger Ungl. überall 3 abziehst. Dann:
-4<x<-2.
Oft braucht man bei Beträgen Fallunterscheidungen. Hier aber nicht.
FRED
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Sei glücklich, wenn du mit Hilfe von ein paar Strichen sofort die Lösungsmenge herausfinden kannst. Warum willst du dir die Mühe machen, auf so ein einfaches Hilfsmittel zu verzichten und umständlich und abstrakt Fallunterscheidungen durchführen.
Wenn du statische Berechnungen an einem Bauwerk durchführst, machst du dir doch (hoffentlich) auch Skizzen, die deine Gedanken unterstützen. Es gibt in der reinen Zahlentheorie Beweise, die nur mit Grafiken (z.B. Lage der Gitterpunkte im Koordinatensystem) durchgeführt werden, weil sie sonst zu kompliziert sind. Gerade im Bereich deiner Problemstellung sind die Skizzen das Mittel erster Wahl.
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