Ist Matrix diagonalisierbar < Lineare Gleich.-sys. < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:27 Fr 17.11.2023 | | Autor: | Euler123 |
| Aufgabe | Sind die folgenden Matrizen diagonalisierbar?
[mm] \left(\begin{array}{lll}
3 & 4 & -3 \\
2 & 7 & -4 \\
3 & 9 & -5
\end{array}\right), \quad\left(\begin{array}{ccc}
1 & -4 & -4 \\
0 & 3 & 2 \\
-2 & -7 & -4
\end{array}\right), \quad\left(\begin{array}{ccc}
3 & 2 & -1 \\
1 & 0 & 4 \\
3 & 0 & 1
\end{array}\right) [/mm] . |
Die ersten beiden Matrizen habe ich bereits auf Diagonalisierbarkeit überprüft (ich habe die algebraische und geometrische Vielfachheit bestimmt und geschaut, ob diese ident sind).
Somit wäre die erste Matrix nicht Diagonalisierbar, die zweite aber schon!
Bei der dritten würde ich nun nach dem gleichen Schemata, folgendes erhalten:
[mm] \lambda_{1} \approx [/mm] 4,270
[mm] \lambda_{2} \approx-0,135+\tilde{I} \cdot(2,266) [/mm]
[mm] \lambda_{3} \approx-0,135-\tilde{I} \cdot(2,266) [/mm]
[mm] v_{1} \approx\left(\begin{array}{c}1,090 \\ 1,192 \\ 1\end{array}\right) [/mm]
[mm] v_{2} \approx\left(\begin{array}{c}-0,378+\tilde{u} \cdot(0,755) \\ 0,237-\tilde{u} \cdot(1,612) \\ 1\end{array}\right)
[/mm]
Somit wäre diese Matrix nicht Diagonalisierbar?
Meine konkrete Frage würde nun darin bestehen, ob ich dies, speziell im Fall der dritten Matrix, auch noch anders bzw. anschaulicher zeigen könnte?
LG Euler
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:47 Sa 18.11.2023 | | Autor: | Infinit |
Hallo Euler123,
vom Rechenweg her wüsste ich jetzt keine kürzere Methode. Allerdings hättest Du nach der Bestimmung der Eigenwerte bereits aufhören können, da aufgrund der beiden komplexen Nullstellen klar ist, dass sich keine Linearkombination im Reellen darstellen lässt.
Viele Grüße,
Infinit
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:35 Sa 18.11.2023 | | Autor: | Euler123 |
Hallo Infinit,
Alles klar - und danke für deine Antwort!
LG Euler
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