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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:54 So 30.10.2011 | | Autor: | Zolf |
| Aufgabe | | Aufgabe 2a und 5, wenn man den Link anklickt |
http://wwwmath.uni-muenster.de/u/antongiulio.fornasiero/LA1/blatt3.pdf
Hallo,
ich habe eine Frage bezüglich der Aufgabe 2a und 5)
Zu 2a)
Im Buch des Professors steht, dass die Aufgabe 2a sofort mit einem Blick auf die Axiome eines Teilraums beantwortet wird. Daraus leite ich jetzt ab, dass einerseits [mm] x(i)+y(i)=(x+y)(i)\not= [/mm] sind. Und das [mm] c\inK [/mm] mit c*x(i) auch in K^(I) liegt, da so auch -1 und so x(i)+(-x(i)=0 und so K^(I) sogar ein trivialer Teilraum ist ?
Zu 5)
Ich verstehe die Aufgabe so, dass ich zeigen muss, dass M ein erzeugendes System von [mm] K^m [/mm] ist. Dadurch, dass es mit Koeffizienten aus R funktioniert, muss es anhand der Axiome des Teilraums auch mit Koeffizienten aus Q funktionieren? Falls ja, wie verschriftliche ich dies richtig?
Danke schon einmal
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:38 So 30.10.2011 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Zolf und herzlich ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !
> Zu 2a)
>
> Im Buch des Professors steht, dass die Aufgabe 2a sofort
> mit einem Blick auf die Axiome eines Teilraums beantwortet
> wird.
Nutze das Teilraumkriterium F3 aus der Vorlesung. Das ist eigentlich immer das Mittel der Wahl.
> Daraus leite ich jetzt ab, dass einerseits
> [mm]x(i)+y(i)=(x+y)(i)\not=[/mm] sind.
Für [mm] $x,y\in K^I$ [/mm] gilt in der Tat (x+y)(i)=x(i)+y(i) für alle [mm] $i\in [/mm] I$ (nach Definition der Addition in [mm] $K^I$).
[/mm]
> Und das [mm]c\inK[/mm] mit c*x(i) auch
> in K^(I) liegt
Dass für [mm] $x\in K^{(I)}$ [/mm] und [mm] $c\in [/mm] K$ auch [mm] $c\cdot x\in K^{(I)}$ [/mm] gilt, ist eine der drei zu zeigenden Eigenschaften.
> da so auch -1 und so x(i)+(-x(i)=0 und so
> K^(I) sogar ein trivialer Teilraum ist ?
![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]") Nein, [mm] $K^{(I)}$ [/mm] ist nicht der Nullvektorraum.
Machen wir uns zunächst am Beispiel [mm] $\IR^{(\IN)}$ [/mm] klar, wie diese Menge aussieht: Elemente dieser Menge sind z.B.
[mm] $x=(4,3,2,1,0,0,0,\ldots)$
[/mm]
(abkürzende Schreibweise für die Folge [mm] $x\colon\IN\to\IR$, [/mm] x(1)=4, x(2)=3, x(3)=2, x(4)=1, x(i)=0 für [mm] $i\geq5) [/mm] oder
[mm] $y=(0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,0,0,0,\ldots)$.
[/mm]
Deine nächste Aufgabe: Welche drei Eigenschaften sind in unserem Fall gemäß F3 zu zeigen?
> Zu 5)
Vorweg: Ich konnte diese Aufgabe selbst nicht lösen, daher lasse ich diese Frage nur teilweise beantwortet.
> Ich verstehe die Aufgabe so, dass ich zeigen muss, dass M
> ein erzeugendes System von [mm]K^m[/mm] ist.
Ich nehme mal an, du meinst [mm] $K=\IQ$. [/mm] Wenn du zeigen könntest, dass $M$ ein Erzeugendensystem von [mm] $\IQ^m$ [/mm] ist, wärst du in der Tat fertig. Das wird dir aber nicht gelingen, da es im Allgemeinen falsch ist... 
> Dadurch, dass es mit
> Koeffizienten aus R funktioniert, muss es anhand der Axiome
> des Teilraums auch mit Koeffizienten aus Q funktionieren?
Welchen Vektorraum betrachtest du hier als Teilraum welches anderen Vektorraumes?
> Falls ja, wie verschriftliche ich dies richtig?
Ganz so trivial wird das nicht sein, es ist ja schließlich eine *-Aufgabe.
Viele Grüße aus Münster nach Münster...
Tobias
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Hallo Zolf!
> Zu 5)
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> Ich verstehe die Aufgabe so, dass ich zeigen muss, dass M
> ein erzeugendes System von [mm]K^m[/mm] ist. Dadurch, dass es mit
> Koeffizienten aus R funktioniert, muss es anhand der Axiome
> des Teilraums auch mit Koeffizienten aus Q funktionieren?
> Falls ja, wie verschriftliche ich dies richtig?
Nein.
Der Tipp auf dem Übungsblatt führt zu einer Matrixgleichung $At = b$.
Jetzt hilft das Gaußsche Eliminationsverfahren.
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> Danke schon einmal
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>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
LG mathfunnel
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