Ist X ein Banachraum < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | [mm] X:=\{(x_n)_{n\in\IN} \in l^{\infty} | \exists N \in\IN :\forall n \ge \IN:x_n =0\}
[/mm]
Ist [mm] (X,\parallel.\parallel_{\infty}) [/mm] ein Banachraum? |
Hallo
Ich hab versucht, die Aufgabe zu bearbeiten.
Beweis:
X mit der Norm ist kein Banachraum, weil er nicht vollständig ist, das heißt, eine Cauchyfolge hat einen Grenzwert, der nicht in X liegt.
Sei [mm] x_n:=(1,\bruch{1}{2},\bruch{1}{3},...) \not\in [/mm] X
Sei [mm] (x_n)_{n\in\IN}^m=(1,\bruch{1}{2},\bruch{1}{3},...,\bruch{1}{m},0,....)\in [/mm] X eine Cauchyfolge, aber wenn man nun [mm] (x_n)_{n\in\IN}^m [/mm] gegen [mm] m->\infty [/mm] schickt, dann bekommt man [mm] (1,\bruch{1}{2},\bruch{1}{3},....) \not\in [/mm] X, also ist X nicht vollständig.
Ist mein Beweis richtig?
Und hat einer ne Idee, wie man dies noch zeigen kann?
Vielen Dank schonmal
Gruß
TheBozz-mismo
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Hiho,
> Beweis:
> X mit der Norm ist kein Banachraum, weil er nicht
> vollständig ist, das heißt, eine Cauchyfolge hat einen
> Grenzwert, der nicht in X liegt.
Wenn du das zeigen könntest, wärst du fertig, das stimmt.
> Sei [mm]x_n:=(1,\bruch{1}{2},\bruch{1}{3},...) \not\in[/mm] X
Das soll dein Grenzwert werden, ok.
> Sei [mm](x_n)_{n\in\IN}^m=(1,\bruch{1}{2},\bruch{1}{3},...,\bruch{1}{m},0,....)\in[/mm] X eine Cauchyfolge
Ach ist das eine Cauchy-Folge in $ [mm] (X,\parallel.\parallel_{\infty}) [/mm] $? Warum? Dazu steht hier noch nix.
> aber wenn man nun [mm](x_n)_{n\in\IN}^m[/mm]
> gegen [mm]m->\infty[/mm] schickt, dann bekommt man
> [mm](1,\bruch{1}{2},\bruch{1}{3},....) \not\in[/mm] X, also ist X
> nicht vollständig.
Wenn dem so wäre, hättest du recht, ja.
Aber auch das könntest du der Vollständigkeit halber noch zeigen, dass [mm] $x_n^m \to x_n$ [/mm] für [mm] $m\to\infty$ [/mm] bezüglich [mm] $||*||_\infty$ [/mm] gilt.
> Ist mein Beweis richtig?
Wenn du es genauer ausführst, ist das ok, ja.
> Und hat einer ne Idee, wie man dies noch zeigen kann?
Wieso noch? Genau so: Es gibt eine Cauchy-Folge, die in $ [mm] (X,\parallel.\parallel_{\infty}) [/mm] $ nicht konvergiert.
MFG,
Gono.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:01 Do 07.06.2012 | | Autor: | Helbig |
> [mm]X:=\{(x_n)_{n\in\IN} \in l^{\infty} | \exists N \in\IN :\forall n \ge \IN:x_n =0\}[/mm]
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> Ist [mm](X,\parallel.\parallel_{\infty})[/mm] ein Banachraum?
> Hallo
> Ich hab versucht, die Aufgabe zu bearbeiten.
> Beweis:
> X mit der Norm ist kein Banachraum, weil er nicht
> vollständig ist, das heißt, eine Cauchyfolge hat einen
> Grenzwert, der nicht in X liegt.
> Sei [mm]x_n:=(1,\bruch{1}{2},\bruch{1}{3},...) \not\in[/mm] X
Der Index $_n$ ist hier überflüssig und irreführend. Nenn diese Folge doch einfach [mm] $\,x$.
[/mm]
> Sei
> [mm](x_n)_{n\in\IN}^m=(1,\bruch{1}{2},\bruch{1}{3},...,\bruch{1}{m},0,....)\in[/mm]
> X eine Cauchyfolge, aber wenn man nun [mm](x_n)_{n\in\IN}^m[/mm]
> gegen [mm]m->\infty[/mm] schickt, dann bekommt man
> [mm](1,\bruch{1}{2},\bruch{1}{3},....) \not\in[/mm] X, also ist X
> nicht vollständig.
Das n-te Glied Deiner Folge liest sich dann so:
[mm] $x_n=(1, \frac [/mm] 1 2, [mm] \ldots,\ \frac [/mm] 1 n, 0, 0,\ [mm] \ldots)$.
[/mm]
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