Ist Z ein K-Vektorraum?! < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Gibt es einen Körper K mit der Eigenschaft, daß eine Verknüpfung
*: K [mm] \times \IZ \rightarrow \IZ
[/mm]
existiert derart, daß [mm] (\IZ, [/mm] +, *) ein K-Vektorraum ist? (Dabei sei + die gewöhnliche Addition auf [mm] \IZ) [/mm] |
Hallo liebes Forum,
Über o.g. Frage habe ich nun schon einige Stündchen nachgedacht, aber ich komme auf keine Lösung. Mein Bauchgefühl sagt mir, daß sie mit "nein" zu beantworten ist, aber ich bekomme keinen Widerspruchsbeweis hin.
Die "+"-Verknüpfung auf [mm] \IZ [/mm] ist eine abelsche Gruppe. Was * erfüllen muß, ist im einzelnen
(i) Assoziativgesetz:
[mm] \forall \lambda, \mu \in [/mm] K [mm] \forall z\in\IZ [/mm] : [mm] (\lambda [/mm] * [mm] \mu) [/mm] * z = [mm] \lambda [/mm] * [mm] (\mu [/mm] * z)
(ii) Distributivgesetze:
[mm] \forall \lambda, \mu \in [/mm] K [mm] \forall z\in\IZ [/mm] : [mm] (\lambda [/mm] + [mm] \mu) [/mm] * z = [mm] \lambda [/mm] * z + [mm] \mu [/mm] * z
[mm] \forall \lambda \in [/mm] K [mm] \forall [/mm] y, [mm] z\in\IZ [/mm] : [mm] \lambda [/mm] * (y + z) = [mm] \lambda [/mm] * y + [mm] \lambda [/mm] * z
(iii) Einsgesetz:
[mm] \forall z\in\IZ: [/mm] 1 * z = z
Nun habe ich für einen Widerspruchsbeweis angenommen, es gibt so einen Körper K, der o.g. Eigenschaften erfüllt. Dann würde z.B. gelten, daß
z = (k * [mm] k^{-1}) [/mm] * x = k * [mm] (k^{-1} [/mm] * z) für [mm] k\in [/mm] K und [mm] z\in\IZ [/mm] etc., aber so richtig weitergebracht hat mich auch das Spielen mit den Distributivgesetzen nicht. Ich vermute, daß man den Widerspruch mit der "fehlenden" multiplikativen Invertierbarkeit von [mm] \IZ [/mm] erreichen kann, aber ich bekomme es nicht hin.
Kann mir bitte jemand helfen? (Es muß kein Widerspruchsbeweis sein, ich akzeptiere natürlich auch einen direkten Beweis  )
Im Voraus bereits vielen lieben Dank dafür!!
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:15 Sa 27.01.2007 | | Autor: | maybe. |
Na nimm doch mal den "gaengigsten" koerper: K = [mm] \IR
[/mm]
[mm] (\IZ,+) [/mm] ist wie du richtig gesagt hast eine abelsche gruppe.
wie du richtig sagst musst du jetzt zeigen dass es eine aeussere Verknuepfung
*: K $ [mm] \times \IZ \rightarrow \IZ [/mm] $
gibt die die Eigenschaften
(i) Assoziativgesetz:
$ [mm] \forall \lambda, \mu \in [/mm] $ K $ [mm] \forall z\in\IZ [/mm] $ : $ [mm] (\lambda [/mm] $ * $ [mm] \mu) [/mm] $ * z = $ [mm] \lambda [/mm] $ * $ [mm] (\mu [/mm] $ * z)
(ii) Distributivgesetze:
$ [mm] \forall \lambda, \mu \in [/mm] $ K $ [mm] \forall z\in\IZ [/mm] $ : $ [mm] (\lambda [/mm] $ + $ [mm] \mu) [/mm] $ * z = $ [mm] \lambda [/mm] $ * z + $ [mm] \mu [/mm] $ * z
$ [mm] \forall \lambda \in [/mm] $ K $ [mm] \forall [/mm] $ y, $ [mm] z\in\IZ [/mm] $ : $ [mm] \lambda [/mm] $ * (y + z) = $ [mm] \lambda [/mm] $ * y + $ [mm] \lambda [/mm] $ * z
(iii) Einsgesetz:
$ [mm] \forall z\in\IZ: [/mm] $ 1 * z = z
erfuellt.
Kannst du ein Gegenbeispiel geben, das zeigt dass [mm] \IZ [/mm] ueber [mm] \IR [/mm] schon mal kein VR ist ?
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Hallo, danke erstmal für die Reaktion! Ich versuche es einfach mal ...
Wir betrachten also eine Funktion [mm] *:\IR\times\IZ \rightarrow \IZ [/mm] .
Es sei [mm] 1_z [/mm] das Einselement aus [mm] \IZ [/mm] .
Wir wissen, dass [mm] 0,5*1_z \in\IZ [/mm] und somit eine ganze Zahl ist, also
[mm] 0,5*1_z [/mm] + [mm] 0,5*1_z [/mm] ist eine "gerade Zahl" (= 2*z' für [mm] z'\in\IZ [/mm] mit * als gew. Multipl. auf [mm] \IZ).
[/mm]
Ferner gilt (Einsgesetz):
[mm] 1_z [/mm] = [mm] 1*1_z [/mm] = (0,5 + [mm] 0,5)*1_z [/mm] = [mm] 0,5*1_z [/mm] + [mm] 0,5*1_z
[/mm]
Also [mm] 1_z [/mm] ist gerade, was ein Widerspruch ist.
Bin ich auf dem richtigen Weg oder nun gänzlich auf dem Holzpfad?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:42 Sa 27.01.2007 | | Autor: | maybe. |
> Hallo, danke erstmal für die Reaktion! Ich versuche es
> einfach mal ...
>
> Wir betrachten also eine Funktion [mm]*:\IR\times\IZ \rightarrow \IZ[/mm]
> .
>
> Es sei [mm]1_z[/mm] das Einselement aus [mm]\IZ[/mm] .
>
> Dann gilt (Distr.gesetz) für 0,5 [mm]\in\IR:[/mm]
>
> 0,5 * [mm](1_z[/mm] + [mm]1_z)[/mm] = [mm]0,5*1_z[/mm] + [mm]0,5*1_z[/mm]
>
> Wir wissen, dass [mm]0,5*1_z \in\IZ[/mm] und somit eine ganze Zahl
> ist, also
Wieso ist 0,5 eine ganze Zahl ? Ich glaube aber du gehst in die richtige Richtung.
Das problem ist naemlich dass die Verknuepfung $ [mm] *:\IR\times\IZ \rightarrow \IZ [/mm] $ gar nicht abgeschlossen ist. wenn du z.b. 0,5*3= 1,5 rechnest hast du ein Paar (0,5;3) [mm] \in \IR\times\IZ [/mm] so dass 0,5*3 [mm] \not\in \IZ [/mm] !!
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Hallo, ich hätte Klammern setzen sollen. Mit [mm] 0,5*1_z\in\IZ [/mm] ist natürlich [mm] (0,5*1_z)\in\IZ [/mm] gemeint.
Was mich noch "stört", ist die Sache, ob man in jedem Körper K annehmen kann, dass ein [mm] k\in [/mm] K existiert mit k+k = [mm] 1_k [/mm] ? (im Beispiel mit [mm] \IR [/mm] war k = 0,5)
Ich kniffle noch ein wenig herum, auf jeden Fall schonmal supervielen Dank für die Hilfe!
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