Ist dieser Beweis richtig? < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo Zusammen,
Ich habe hier folgende Behauptung mit Beweis gegeben:
Zu zeigen: Ist [mm]f\![/mm] im Punkt [mm]x_0\in\left[a,b\right][/mm] differenzierbar, so ist [mm]f\![/mm] im Punkt [mm]x_0[/mm] stetig.
Beweis: Es sei [mm]x_n\ne x_0,\ x_n\in\left[a,b\right][/mm]. Dann gilt: [mm]\textstyle f\left(x_n\right)-f\left(x_0\right)=\frac{f\left(x_n\right)-f\left(x_0\right)}{x_n-x_0}\left(x_n-x_0\right)[/mm]. Wenn [mm]x_n[/mm] gegen [mm]x_0[/mm] konvergiert, erhalten wir: [mm]f'\left(x_0\right)\cdot{}0=0[/mm], also [mm]\textstyle \lim_{x_n\to x_0}{f\left(x_n\right)}=f\left(x_0\right)[/mm] und [mm]f\![/mm] ist genau dann stetig bei [mm]x_0[/mm], wenn [mm]\textstyle\lim{x_n}=x_0\Rightarrow\lim_{n\to\infty}{f\left(x_n\right)}=f\left(x_0\right)[/mm], was gerade gezeigt wurde. [mm]\Box[/mm]
Ich würde gerne wissen, ob dieser Beweis richtig ist, oder falls nicht, wie kann man ihn korrigieren kann?
Viele Grüße
Karl
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:58 Mo 13.09.2004 | | Autor: | Julius |
Hallo Karl!
Der Beweis ist richtig, man sollte ihn nur etwas formaler aufschreiben. 
Es seien $a<b$ reelle Zahlen, $f :[a,b] [mm] \to \IR$ [/mm] sei differenzierbar in einem [mm] $x_0 \in [/mm] ]a,b[$. Wir wollen zeigen, dass $f$ in [mm] $x_0$ [/mm] auch stetig ist.
Dazu wählen wir eine Folge [mm] $(x_n)_{n \in \IN}$ [/mm] reeller Zahlen, mit [mm] $x_n \in [/mm] [a,b]$ $(n [mm] \in \IN)$, $x_n \ne x_0$ $(n\in \IN)$ [/mm] und [mm] $\lim\limits_{n \in \IN} x_n [/mm] = [mm] x_0$.
[/mm]
Zu zeigen ist: [mm] $\lim\limits_{n \to \infty} f(x_n) [/mm] = [mm] f(x_0)$.
[/mm]
Nach Voraussetzung konvergieren die Folgen [mm] $\left( \frac{f(x_n) - f(x_0)}{x_n - x_0} \right)_{n \in \IN}$ [/mm] und [mm] $(x_n [/mm] - [mm] x_0)_{n \in \IN}$, [/mm] und es gilt:
[mm] $\lim\limits_{n \to \infty} \frac{f(x_n) - f(x_0)}{x_n - x_0} [/mm] =: [mm] f'(x_0) \in \IR$,
[/mm]
[mm] $\lim\limits_{n \to \infty} (x_n [/mm] - [mm] x_0) [/mm] = 0$.
Daher konvergiert wegen
[mm] $f(x_n)-f(x_0) [/mm] = [mm] \frac{f(x_n) - f(x_0)}{x_n - x_0} \cdot (x_n [/mm] - [mm] x_0)$ [/mm] $(n [mm] \in \IN)$
[/mm]
(als Produkt konvergenter Folgen) auch die Folge [mm] $(f(x_n)-f(x_0))_{n \in \IN}$,
[/mm]
und es gilt:
[mm] $\lim\limits_{n \to \infty} (f(x_n)-f(x_0)) [/mm] = [mm] \left( \lim\limits_{n \to \infty} \frac{f(x_n) - f(x_0)}{x_n - x_0}\right) \cdot \left( \lim\limits_{n \to \infty} (x_n - x_0) \right) [/mm] = [mm] f'(x_0) \cdot [/mm] 0 = 0$,
also:
[mm] $\lim\limits_{n \to \infty} f(x_n) [/mm] = [mm] f(x_0)$.
[/mm]
Liebe Grüße
Julius
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