Ist f stetig in (0,0) P Difbar < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:27 Di 31.01.2023 | | Autor: | Gufg60 |
| Aufgabe | | Es sei [mm] f:(0,∞)^2 [/mm] R. Gegeben durch die Funktion [mm] f(x,y)=x√y/x^2+y [/mm] falls x,y ungleich 0 und 0 falls x,y = 0 ist. Ist f stetig im Punkt 0,0 ? |
Wie löse ich diese Aufgabe kann ich hierfür einfach den Limes benutzen ?
Also lim von [mm] (xsqrt(y)/x^2+y)=0
[/mm]
und lim (0)=0 ?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:52 Di 31.01.2023 | | Autor: | fred97 |
> Es sei [mm]f:(0,)^2[/mm] R. Gegeben durch die Funktion
> [mm]f(x,y)=x√y/x^2+y[/mm] falls x,y ungleich 0 und 0 falls x,y = 0
> ist. Ist f stetig im Punkt 0,0 ?
> Wie löse ich diese Aufgabe kann ich hierfür einfach den
> Limes benutzen ?
> Also lim von [mm](xsqrt(y)/x^2+y)=0[/mm]
> und lim (0)=0 ?
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Dem Quelltext entnehme ich:
[mm] $f:(0,\infty)^2 \to \IR.$
[/mm]
$f(x,y)= [mm] \frac{x \sqrt{y}}{x^2+y}$ [/mm] , falls $(x,y) [mm] \ne [/mm] (0,0)$
$f(0,0) =0.$
Schau Dir mal an, was [mm] $f(x,x^2)$ [/mm] treibt, wenn $x [mm] \to [/mm] 0+0$ strebt.
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f(x,y) = [mm] \frac{x \sqrt{y}}{x^2+y}
[/mm]
Allgemein solltest du bei solchen Aufgaben in 4 Schritten vorgehen:
1. Setze x auf 0, y [mm] \ne [/mm] 0 und bilde dann [mm] \limes_{y\rightarrow 0}f(0,y), [/mm] wobei du i.A. vorher kürzen kannst.
2. Setze y auf 0, x [mm] \ne [/mm] 0 und bilde dann [mm] \limes_{x\rightarrow 0}f(x,0), [/mm] wobei du i.A. vorher kürzen kannst.
3. Setze x auf a*y, a [mm] \ne [/mm] 0 und bilde dann [mm] \limes_{y\rightarrow 0}f(ay,y), [/mm] wobei du i.A. vorher kürzen kannst.
4. Setze y auf ax, a [mm] \ne [/mm] 0 und bilde dann [mm] \limes_{y\rightarrow 0}f(x,ax), [/mm] wobei du i.A. vorher kürzen kannst.
Wenn alle Ergebnisse übereinstimmen, ist dies ein starkes Indiz dafür, dass die Funktion in (0,0) stetig ist. Wenn auch nur zwei vorneinander abweichen, ist sie dort unstetig.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:27 Di 31.01.2023 | | Autor: | fred97 |
> f(x,y) = [mm]\frac{x \sqrt{y}}{x^2+y}[/mm]
>
> Allgemein solltest du bei solchen Aufgaben in 4 Schritten
> vorgehen:
>
> 1. Setze x auf 0, y [mm]\ne[/mm] 0 und bilde dann
> [mm]\limes_{y\rightarrow 0}f(0,y),[/mm] wobei du i.A. vorher kürzen
> kannst.
> 2. Setze y auf 0, x [mm]\ne[/mm] 0 und bilde dann
> [mm]\limes_{x\rightarrow 0}f(x,0),[/mm] wobei du i.A. vorher kürzen
> kannst.
> 3. Setze x auf a*y, a [mm]\ne[/mm] 0 und bilde dann
> [mm]\limes_{y\rightarrow 0}f(ay,y),[/mm] wobei du i.A. vorher
> kürzen kannst.
> 4. Setze y auf ax, a [mm]\ne[/mm] 0 und bilde dann
> [mm]\limes_{y\rightarrow 0}f(x,ax),[/mm] wobei du i.A. vorher
> kürzen kannst.
>
> Wenn alle Ergebnisse übereinstimmen, ist dies ein starkes
> Indiz dafür, dass die Funktion in (0,0) stetig ist.
Das ist doch Unsinn
>Wenn
> auch nur zwei vorneinander abweichen, ist sie dort
> unstetig.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:06 Mi 01.02.2023 | | Autor: | fred97 |
> f(x,y) = [mm]\frac{x \sqrt{y}}{x^2+y}[/mm]
>
> Allgemein solltest du bei solchen Aufgaben in 4 Schritten
> vorgehen:
>
> 1. Setze x auf 0, y [mm]\ne[/mm] 0 und bilde dann
> [mm]\limes_{y\rightarrow 0}f(0,y),[/mm] wobei du i.A. vorher kürzen
> kannst.
> 2. Setze y auf 0, x [mm]\ne[/mm] 0 und bilde dann
> [mm]\limes_{x\rightarrow 0}f(x,0),[/mm] wobei du i.A. vorher kürzen
> kannst.
> 3. Setze x auf a*y, a [mm]\ne[/mm] 0 und bilde dann
> [mm]\limes_{y\rightarrow 0}f(ay,y),[/mm] wobei du i.A. vorher
> kürzen kannst.
> 4. Setze y auf ax, a [mm]\ne[/mm] 0 und bilde dann
> [mm]\limes_{y\rightarrow 0}f(x,ax),[/mm] wobei du i.A. vorher
> kürzen kannst.
>
> Wenn alle Ergebnisse übereinstimmen, ist dies ein starkes
> Indiz dafür, dass die Funktion in (0,0) stetig ist. Wenn
> auch nur zwei vorneinander abweichen, ist sie dort
> unstetig.
>
Bei obiger Funktion sind alle vier Ergebnisse $=0$, stimmen also überein.
In eimem Indizienprozess muss der Angeklagte allerdings freigesprochen werden, denn obige Funktion ist in $(0,0)$ nicht stetig.
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> > f(x,y) = [mm]\frac{x \sqrt{y}}{x^2+y}[/mm]
> >
> > Allgemein solltest du bei solchen Aufgaben in 4 Schritten
> > vorgehen:
> >
> > 1. Setze x auf 0, y [mm]\ne[/mm] 0 und bilde dann
> > [mm]\limes_{y\rightarrow 0}f(0,y),[/mm] wobei du i.A. vorher kürzen
> > kannst.
> > 2. Setze y auf 0, x [mm]\ne[/mm] 0 und bilde dann
> > [mm]\limes_{x\rightarrow 0}f(x,0),[/mm] wobei du i.A. vorher kürzen
> > kannst.
> > 3. Setze x auf a*y, a [mm]\ne[/mm] 0 und bilde dann
> > [mm]\limes_{y\rightarrow 0}f(ay,y),[/mm] wobei du i.A. vorher
> > kürzen kannst.
> > 4. Setze y auf ax, a [mm]\ne[/mm] 0 und bilde dann
> > [mm]\limes_{y\rightarrow 0}f(x,ax),[/mm] wobei du i.A. vorher
> > kürzen kannst.
> >
> > Wenn alle Ergebnisse übereinstimmen, ist dies ein starkes
> > Indiz dafür, dass die Funktion in (0,0) stetig ist. Wenn
> > auch nur zwei vorneinander abweichen, ist sie dort
> > unstetig.
> >
>
> Bei obiger Funktion sind alle vier Ergebnisse [mm]=0[/mm], stimmen
> also überein.
>
> In eimem Indizienprozess muss der Angeklagte allerdings
> freigesprochen werden, denn obige Funktion ist in [mm](0,0)[/mm]
> nicht stetig.
Ja, du hattest ja schon den Lösungsweg angegeben.
Obiges Verfahren hat sofortigen Erfolg bei einer Abweichung (hier z.B., wenn man [mm] y=t^2 [/mm] substituiert, was deiner Lösung entspricht). Bei fehlender Abweichung ist das natürlich kein Beweis für Stetigkeit.
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