Ist meine Lösung richtig? < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
kann hier mal jemand drüberschauen, ob alles richtig ist.
[mm] (1+x)^n\ge(n+1)*x [/mm] für [mm] x\ge [/mm] und [mm] n\ge2 [/mm] nEN
IA
für n=2
[mm] x^2-x+1 \ge [/mm] 0
wenn man das mit der pq formel ausrechnet, kommt was negatives raus, was bedeutet, keine Nullstellen und somit wahr.
Mit Induktion kommt man dann auf
((n+1)*x)*(1+x) [mm] \ge [/mm] (n+2)*x
und dann auf
[mm] x^2+n*x^2-x \ge [/mm] 0
mit ausklammern komm ich dann auf
x(x+nx-1) [mm] \ge [/mm] 0
das irritiert mich irgendwie, weil x meine ich nicht zu den Natürlich Zahlen gehört und damit wäre diese Lösung nicht eindeutig.
Was meint ihr?
Gruß
Philipp
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:34 Mo 14.01.2008 | | Autor: | Martinius |
Hallo,
was soll denn nun für dein x gelten? x [mm] \ge [/mm] 1 und [mm] x\in\IR [/mm] ?
LG, Martinius
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sorry, für x muss gelten [mm] x\ge [/mm] 0
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:12 Di 15.01.2008 | | Autor: | ullim |
Hi Philipp ,
um [mm] x^2-x+1 \ge [/mm] 0 zu beweisen, kannst Du versuchen die Nullstellen zu bestimmen. In diesem Fall gibt es keine reellen. Da die Parabel nach oben geöffnet ist, muss das Minimum [mm] \ge [/mm] 0 sein. Also gilt [mm] x^2-x+1 \ge [/mm] 0.
Den Induktionsschluss kann man so beweisen
Nachzuweisen ist [mm] (1+x)^{n+1} \ge [/mm] (n+2)x
wegen 1 [mm] \le (1+x)^n [/mm] folgt [mm] 1+\bruch{x}{(1+x)^n} \le [/mm] x+1 also
[mm] (1+x)^n+x \le (1+x)^{n+1} [/mm] also wegen der IV
(n+2)x [mm] \le (1+x)^{n+1} [/mm] was zu beweisen war.
mfg ullim
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