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Ist meine Lösung richtig?: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:00 Mo 14.01.2008
Autor: philipp-100

Hallo,
kann hier mal jemand drüberschauen, ob alles richtig ist.

[mm] (1+x)^n\ge(n+1)*x [/mm]   für [mm] x\ge [/mm] und [mm] n\ge2 [/mm] nEN

IA

für n=2

[mm] x^2-x+1 \ge [/mm] 0

wenn man das mit der pq formel ausrechnet, kommt was negatives raus, was bedeutet, keine Nullstellen und somit wahr.

Mit Induktion kommt man dann auf

((n+1)*x)*(1+x) [mm] \ge [/mm] (n+2)*x
und dann auf
[mm] x^2+n*x^2-x \ge [/mm] 0

mit ausklammern komm ich dann auf

x(x+nx-1) [mm] \ge [/mm] 0

das irritiert mich irgendwie, weil x meine ich nicht zu den Natürlich Zahlen gehört und  damit wäre diese Lösung nicht eindeutig.

Was meint ihr?
Gruß
Philipp



        
Bezug
Ist meine Lösung richtig?: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:34 Mo 14.01.2008
Autor: Martinius

Hallo,

was soll denn nun für dein x gelten? x [mm] \ge [/mm] 1 und [mm] x\in\IR [/mm] ?

LG, Martinius

Bezug
        
Bezug
Ist meine Lösung richtig?: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:47 Mo 14.01.2008
Autor: philipp-100

sorry, für x muss gelten [mm] x\ge [/mm] 0

Bezug
        
Bezug
Ist meine Lösung richtig?: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:12 Di 15.01.2008
Autor: ullim

Hi Philipp ,

um [mm] x^2-x+1 \ge [/mm] 0 zu beweisen, kannst Du versuchen die Nullstellen zu bestimmen. In diesem Fall gibt es keine reellen. Da die Parabel nach oben geöffnet ist, muss das Minimum [mm] \ge [/mm] 0 sein. Also gilt [mm] x^2-x+1 \ge [/mm] 0.

Den Induktionsschluss kann man so beweisen

Nachzuweisen ist [mm] (1+x)^{n+1} \ge [/mm] (n+2)x

wegen 1 [mm] \le (1+x)^n [/mm] folgt [mm] 1+\bruch{x}{(1+x)^n} \le [/mm] x+1 also

[mm] (1+x)^n+x \le (1+x)^{n+1} [/mm] also wegen der IV

(n+2)x [mm] \le (1+x)^{n+1} [/mm] was zu beweisen war.

mfg ullim

Bezug
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