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| Aufgabe | Sei A [mm] \in \IR^{NxN} [/mm] eine Matrix.
a) Bestimme für beliebiges [mm] \mu \in \IR^{N} [/mm] zum Anfangswertproblem x' = Ax, x(0)= [mm] \mu [/mm] die Iterationsfolge des Verfahrens von Picard-Lindelöf.
Zeige, dass die Iterationsfolge auf ganz [mm] \IR [/mm] konvergiert.
b) Zeige mit Hilfe von a), dass die Potenzreihe
[mm] e^{tA} [/mm] := [mm] \summe_{k\ge 0}^{} \bruch{1}{k!}(tA)^{k}
[/mm]
wohldefiniert ist und drücke die Lösung des AWPs aus a) unter Verwendung der Matrix [mm] e^{tA} [/mm] aus. |
Hallo,
bei dieser Aufgabe weiß ich nicht genau, wie ich hier vozugehen habe.
In der Vorlesung wurde das Iterationsverfahren von Picard-Lindelöf folgendermaßen beschrieben:
Sei G [mm] \sunset \IR [/mm] x [mm] \IR^^{N} [/mm] offen, f: G [mm] \to \IR^{N} [/mm] stetig. Zu [mm] (\nu, \mu) \in [/mm] G betrachten wir das AWP x' = f(t,x), [mm] x(\nu) [/mm] = [mm] \mu
[/mm]
Eine Fkt. x: J [mm] \to \IR^{N} [/mm] auf Intervall J ist genau dann Lösung von x' = f(t,x). wenn
i) x stetig
ii) graph x := {(t,x(t)): t [mm] \in [/mm] J} [mm] \subset [/mm] G
iii) [mm] \forall [/mm] t [mm] \in [/mm] J [mm] :x_{n}(t) [/mm] = [mm] \mu_{n} [/mm] + [mm] \integral_{\nu}^{t}{f_{n}(s,x(s)) ds} [/mm] (1 [mm] \le [/mm] n [mm] \le [/mm] N)
Dies kann als Fixpunktgleichung interpretiert werden. Fpr das geg. Intervall J [mm] \subset \IR [/mm] und stetigen u: J [mm] \to \IR^{N} [/mm] mit graph u [mm] \subset [/mm] G sei Tu: J [mm] \to \IR^{N} [/mm] definiert durch : Tu(t) = [mm] \mu [/mm] + [mm] \integral_{\nu}^{t}{f(s,u(s)) ds} [/mm] (t [mm] \in [/mm] J)
Dann ist das Integral in iii) äquivalent zu Tx=x(x [mm] \in C(J,\IR^{n})
[/mm]
Deshalb kann man das Iterationsverfahren hernehmen, das besagt:
Setze [mm] x_{0} [/mm] = [mm] \mu, x_{n+1} [/mm] = [mm] Tx_{n} [/mm] = [mm] T^{n+1}x_{0}.
[/mm]
Aber wie muss ich bei diesem Iterationsverfahren genau vorgehen? Zu zeigen ist ja am Ende, dass diese Iterarionsfolge auf ganz [mm] \IR [/mm] konvergiert. Kann mir da jemand bitte helfen? Ich weiß nicht, wie ich vorgehen soll.
bei der b) brauch ich die Lösung von a) dazu. Ich brauche dazu die ösung von a) , um diese dann mit der Matrix [mm] e^{tA} [/mm] ausdrücken zu können. Dabei ist noch zu zeigen, dass diese Reihe komponentenweise konvergiert, also dass die MAtrixeinträge konvergieren. Dann folgt daraus, dass die AMtix ganz konvergiert.
Ich bitte um Hilfe. Vielen Dank!
Gruß, fabian
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 04:43 Do 01.06.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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