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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 20:32 Mi 04.04.2012 | | Autor: | MaxPlanck |
| Aufgabe | | Zeigen Sie, dass die Iterationslösung der Differentialgleichung [mm] y'=2y-e^{x}, [/mm] wo y(0)=2 gelten soll, gegen die Lösung des Anfangswertproblems konvergiert. |
Hallo zusammen!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
An und für sich eine leichte Übungsaufgabe, Reihe, die bei der Iteration entsteht mit jener der exakten Lösung vergleichen (mehr als die ersten Gleider vergleichen braucht man nicht). Wenn ich das mit der Picard-Iteration mache, dann kommt aber permanent das falsche raus und verrechnet habe ich mich bei der anzahl der Wiederholungen sicher nicht. Hat irgendwer eine Idee, was schiefgelaufen ist?
Danke schon mal
P.S.: wenn die Frage zu ungenau ist, dann schreib ich gerne meine Rechnung auch an.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:03 Mi 04.04.2012 | | Autor: | MathePower |
Hallo MaxPlanck,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Zeigen Sie, dass die Iterationslösung der
> Differentialgleichung [mm]y'=2y-e^{x},[/mm] wo y(0)=2 gelten soll,
> gegen die Lösung des Anfangswertproblems konvergiert.
> Hallo zusammen!
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> An und für sich eine leichte Übungsaufgabe, Reihe, die
> bei der Iteration entsteht mit jener der exakten Lösung
> vergleichen (mehr als die ersten Gleider vergleichen
> braucht man nicht). Wenn ich das mit der Picard-Iteration
> mache, dann kommt aber permanent das falsche raus und
> verrechnet habe ich mich bei der anzahl der Wiederholungen
> sicher nicht. Hat irgendwer eine Idee, was schiefgelaufen
> ist?
>
Das können wir erst feststellen, wenn Du Deine bisherigen Rechenschritte postest.
> Danke schon mal
>
> P.S.: wenn die Frage zu ungenau ist, dann schreib ich gerne
> meine Rechnung auch an.
Gruss
MathePower
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Also, zuerst habe ich [mm] y_0=2, [/mm] dann ist [mm] y_1
[/mm]
[mm] y_1=y_0+\integral_{0}^{x}{f(t,y_0(t)) dt}=
[/mm]
[mm] =2+\integral_{0}^{x}{4-e^t dt}=3+4x-e^{x}
[/mm]
Und so ging es dann weiter, aber beim Vergleich mit der Reihe von
[mm] 2e^{2x}-e^{x}, [/mm] der exakten Lösung, mit den ersten Gleidern der Iteration ist mir aufgefallen, dass es nicht stimmen kann.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:00 Do 05.04.2012 | | Autor: | fred97 |
> Also, zuerst habe ich [mm]y_0=2,[/mm] dann ist [mm]y_1[/mm]
>
> [mm]y_1=y_0+\integral_{0}^{x}{f(t,y_0(t)) dt}=[/mm]
>
> [mm]=2+\integral_{0}^{x}{4-e^t dt}=3+4x-e^{x}[/mm]
Das stimmt.
>
> Und so ging es dann weiter, aber beim Vergleich mit der
> Reihe von
> [mm]2e^{2x}-e^{x},[/mm] der exakten Lösung,
Das ist nicht die exakte Lösung ! Obige Fkt. erfüllt ja noch nicht einmal die Anfangsbedingung y(0)=2 .
FRED
> mit den ersten Gleidern
> der Iteration ist mir aufgefallen, dass es nicht stimmen
> kann.
>
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:34 Do 05.04.2012 | | Autor: | MaxPlanck |
Oh, das ist ein peinlicher Fehler. Die exakte Lösung ist natürlich [mm] e{2x}e^{x}=e^{x}(e^{x}+1). [/mm] Und die Reihenentwicklung ist [mm] 2+3x+(5x^{2})/2+...
[/mm]
Und wenn ich einen weiteren Iteratiosnschritt mache, dann ist
[mm] y_2=2+\integral_{0}^{x}{6+8t-3e^{t} dt}=2+6x+4x^{2}-3e^{x}+3=
[/mm]
[mm] =5+6x+4x^{2}-3e^{x}=2+3x+5x^{2}/2-...
[/mm]
Stimmt also eh. Entschuldigung für die blöde Frage und Vielen Dank
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