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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:35 Fr 28.08.2009 | | Autor: | SusanneK |
| Aufgabe | Sei [mm] n \in \IN, A \in M_{nn}(\IC) [/mm] eine Matrix, deren Einträge alle in [mm] \IR [/mm] sind. Sei A=D+N die Jordanzerlegung von A in [mm] M_{nn} (\IC) [/mm], also D diagonalisierbar und N nilpotent.
Beweisen Sie, dass alle Einträge in D und in N in [mm] \IR [/mm] sind. |
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
Hallo,
was ist denn mit dem Fall [mm] A=\pmat{0&1\\-1&0} [/mm].
Alle Einträge sind in [mm] \IR, [/mm] die Eigenwerte sind aber i und -i, A diagonalisierbar. Damit wäre auf der Diagonalen der Matrix D aber doch i und -i ?
Wo ist mein Denkfehler ?
Danke, Susanne.
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> Sei [mm]n \in \IN, A \in M_{nn}(\IC)[/mm] eine Matrix, deren
> Einträge alle in [mm]\IR[/mm] sind. Sei A=D+N die Jordanzerlegung
> von A in [mm]M_{nn} (\IC) [/mm], also D diagonalisierbar und N
> nilpotent.
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> Beweisen Sie, dass alle Einträge in D und in N in [mm]\IR[/mm]
> sind.
> Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
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> Hallo,
> was ist denn mit dem Fall [mm]A=\pmat{0&1\\-1&0} [/mm].
> Alle
> Einträge sind in [mm]\IR,[/mm] die Eigenwerte sind aber i und -i, A
> diagonalisierbar. Damit wäre auf der Diagonalen der Matrix
> D aber doch i und -i ?
>
> Wo ist mein Denkfehler ?
>
> Danke, Susanne.
Hallo,
die JNF der Matrix ist [mm] J:=\pmat{i&0\\0&-i}=\pmat{i&0\\0&-i} [/mm] + [mm] \pmat{0&0\\0&0}.
[/mm]
Das sind aber nicht die gesuchten Matrizen D und N. (Es ist ja auch nicht [mm] \pmat{0&1\\-1&0}=\pmat{i&0\\0&-i} [/mm] + [mm] \pmat{0&0\\0&0} [/mm] ... )
Beachte auch, daß für D nicht Diagonalmatrix gefordert ist, sondern: diagonalisierbar.
Da A diagonalisierbar ist, ist die Zerlegung schon gefunden: A=A+ [mm] \pmat{0&0\\0&0}.
[/mm]
---
So. Jetzt nehmen wir mal irgendeine Matrix A mit JNF J= D' + N', D' Diagonalmatix, N' = J-D'.
Dann gibt es eine Matrix T mit
[mm] A=T^{-1}JT=T^{-1}(D'+N')T=T^{-1}D'T [/mm] + [mm] T^{-1}N'T, [/mm] und diese beiden Matrizen sind D und N.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:13 Fr 28.08.2009 | | Autor: | SusanneK |
> > Sei [mm]n \in \IN, A \in M_{nn}(\IC)[/mm] eine Matrix, deren
> > Einträge alle in [mm]\IR[/mm] sind. Sei A=D+N die Jordanzerlegung
> > von A in [mm]M_{nn} (\IC) [/mm], also D diagonalisierbar und N
> > nilpotent.
> >
> > Beweisen Sie, dass alle Einträge in D und in N in [mm]\IR[/mm]
> > sind.
> > Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
> >
> > Hallo,
> > was ist denn mit dem Fall [mm]A=\pmat{0&1\\-1&0} [/mm].
> > Alle
> > Einträge sind in [mm]\IR,[/mm] die Eigenwerte sind aber i und -i, A
> > diagonalisierbar. Damit wäre auf der Diagonalen der Matrix
> > D aber doch i und -i ?
> >
> > Wo ist mein Denkfehler ?
> >
> > Danke, Susanne.
>
> Hallo,
>
> die JNF der Matrix ist
> [mm]J:=\pmat{i&0\\0&-i}=\pmat{i&0\\0&-i}[/mm] + [mm]\pmat{0&0\\0&0}.[/mm]
>
> Das sind aber nicht die gesuchten Matrizen D und N. (Es
> ist ja auch nicht [mm]\pmat{0&1\\-1&0}=\pmat{i&0\\0&-i}[/mm] +
> [mm]\pmat{0&0\\0&0}[/mm] ... )
>
> Beachte auch, daß für D nicht Diagonalmatrix gefordert
> ist, sondern: diagonalisierbar.
>
> Da A diagonalisierbar ist, ist die Zerlegung schon
> gefunden: A=A+ [mm]\pmat{0&0\\0&0}.[/mm]
>
> ---
>
> So. Jetzt nehmen wir mal irgendeine Matrix A mit JNF J= D'
> + N', D' Diagonalmatix, N' = J-D'.
>
> Dann gibt es eine Matrix T mit
>
> [mm]A=T^{-1}JT=T^{-1}(D'+N')T=T^{-1}D'T[/mm] + [mm]T^{-1}N'T,[/mm] und diese
> beiden Matrizen sind D und N.
>
> Gruß v. Angela
Hallo Angela,
vielen Dank für Deiner ausführliche Erklärung !
Ich glaube, ich habe es jetzt verstanden.
D ist also nicht die Diagonalmatrix, sondern der diagonalisierbare Teil von A, der ein echter Summand von A ist, und damit auch nur relle Zahlen enthält.
Stimmt das so ?
Danke, Susanne.
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> D ist also nicht die Diagonalmatrix, sondern der
> diagonalisierbare Teil von A, der ein echter Summand von A
> ist, und damit auch nur relle Zahlen enthält.
Hallo,
ja, genau.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:18 Fr 28.08.2009 | | Autor: | SusanneK |
Liebe Angela,
VIELEN DANK !
LG, Susanne.
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