Jacobi-Matrix < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) für Interessierte  | | Datum: | 11:23 Fr 04.06.2004 | | Autor: | Davin |
Hallo Leuts!
Habe Probleme bei folgender Aufgabe:
f: Rn - > R, g: Rn -> R stetig differenzierbar
Drücken Sie die Jacobi - Matrix der Abbildung F:Rn ->R mit
F(x) := < f(x), g(x) > durch die Jacobi Matrizen von f und g aus.
Davin
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:06 Fr 04.06.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Davin,
willkommen im MatheRaum  !
> Habe Probleme bei folgender Aufgabe:
>
> f: Rn - > R, g: Rn -> R stetig differenzierbar
>
> Drücken Sie die Jacobi - Matrix der Abbildung F:Rn ->R mit
>
> F(x) := < f(x), g(x) > durch die Jacobi Matrizen von f und
> g aus.
Du mußt uns schon so sagen, womit du Probleme bei dieser Aufgabe hast, sonst wissen wir doch gar nicht, wie wir dir helfen können.
Weißt du, was eine Abbildung ist?
Weißt du, was stetig diffbar ist?
Weißt du, was eine Jacobi-Matrix einer Abbildung ist?
Weißt du, was ein Skalarprodukt ist?
Falls du z.B. die 3. Frage mit "Ja" beantwortest, müsstest du doch schon eigene Ansätze erhalten haben; die kannst du uns ruhig schreiben, wir "denken" sie dann weiter
Viele Grüße,
Marc
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(Frage) für Interessierte | | Datum: | 14:01 Fr 04.06.2004 | | Autor: | Davin |
Hier meine erste Rechnung:
Die Jacobi-Matrix ist die erste Ableitung einer Funktion und das Skalarprodukt ist als [mm] \integral f(x)g(x)\, [/mm] dx definiert.
Wenn ich das dann aber ableiten würde dann ergibst sich f(x)g(x), somit Jacobi-Matrix von F = f(x)*g(x).
Und ich habe das Gefühl, dass das nicht stimmen kann 
Davin
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:59 Fr 04.06.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Davin,
> Hier meine erste Rechnung:
> Die Jacobi-Matrix ist die erste Ableitung einer Funktion
Sozusagen, aber eben nicht genau die erste Ableitung, weil diese ja auch keine Matrix wäre.
Die erste Ableitung ist ja nur definiert für Funktionen von [mm] $\IR\to\IR$, [/mm] dein $f$ und $g$ sind aber Funktionen mehrerer Veränderlicher, also von [mm] $\IR^n\to\IR$.
[/mm]
Dann "sammelt" man in einer Matrix sämtliche partiellen Ableitungen
[mm] \pmat{\bruch{\partial f}{\partial x_1},\bruch{\partial f}{\partial x_2},\ldots,\bruch{\partial f}{\partial x_n}}\
[/mm]
und nennt diese dann Jacobi-Matrix (übrigens beschränkt sich die Definition der Jacobi-Matrix nicht nur Funktionen [mm] $\IR^n\to\IR$, [/mm] sondern läßt sich erweitern zu [mm] $\IR^n\to\IR^\red{m}$.
[/mm]
> und das Skalarprodukt ist als [mm] \integral f(x)g(x)\, [/mm] dx
> definiert.
Okay. Dass das Skalarprodukt so definiert ist, ist ja auch nicht selbstverständlich, deswegen ist es gut, dass du die Definition nachgeliefert hast.
Allerdings verstehe ich die Definition nicht (was wohl an mir liegt):
[mm] $F(x_1,\ldots,x_n):=\left\langle f(x_1,\ldots,x_n),g(x_1,\ldots,x_n) \right\rangle=\blue{\integral_{\IR^n} f(x_1,\ldots,x_n)g(x_1,\ldots,x_n) dx}$
[/mm]
Das blaue macht hier doch gar keinen Sinn, weil das Integral gar nicht mehr von [mm] $x_1,\ldots,x_n$ [/mm] abhängig ist (und wer weiß, ob es überhaupt definiert ist).
Weiß das jemand von den anderen hier im MatheRaum, was man unter dieser Definition zu verstehen hat?
Oder, Davin, lautet die Definition doch anders?
> Wenn ich das dann aber ableiten würde dann ergibst sich
> f(x)g(x), somit Jacobi-Matrix von F = f(x)*g(x).
Nun, du hängst hier wohl noch an dem eindimensionalen Fall [mm] $\IR\to\IR$.
[/mm]
> Und ich habe das Gefühl, dass das nicht stimmen kann
Aber ich habe die Aufgabe ja auch nicht verstanden
Viele Grüße,
Marc
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:17 Fr 04.06.2004 | | Autor: | Davin |
Hmm also die Definition des Skalarprduktes habe ich im Internet gefunden.
(http://www.mathe-online.at/materialien/Andreas.Pester/files/Vectors/AbstractVectorSpace.htm)
Falls es anders definiert sein sollte, dann wüsste ich nicht wie
LG
Davin
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:30 Fr 04.06.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Davin,
> Hmm also die Definition des Skalarprduktes habe ich im
> Internet gefunden.
>
> (http://www.mathe-online.at/materialien/Andreas.Pester/files/Vectors/AbstractVectorSpace.htm)
Alles klar, dann weiß ich wenigstens, woher die Definition stammt.
Das ist aber sicher nicht mit F(x):=<f(x),g(x)> gemeint, denn deine Definition erklärt ja ein Skalarprodukt auf einem Funktionenraum, ordnet also zwei (kompletten) Funktionen ein Skalar zu.
In der Definition F(x):=<f(x),g(x)> fließt ja aber noch das x mit ein, f(x) und g(x) sind bereits ein Skalare.
Hast du denn vielleicht auch einen Link zu der Original-Aufgabenstellung?
> Falls es anders definiert sein sollte, dann wüsste ich
> nicht wie
Falls keiner die Definition kennt, schlage ich vor, unter
F(x):=<f(x),g(x)>
einfach das zu verstehen:
$F(x):=f(x)*g(x)$
Das ist dann das Standardskalarprodukt auf [mm] $\IR$.
[/mm]
Viele Grüße,
Marc
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(Frage) für Interessierte | | Datum: | 17:28 Fr 04.06.2004 | | Autor: | Davin |
Hier die genaue Aufgabe:
Aufgabe 2: Seien f : Rn -> Rm und g : Rn -> Rm stetig differenzierbar.
(a) Druecken Sie die Jacobi-Matrix der Abbildung F : Rn -> R mit
F(x) := <f(x); g(x)> durch die Jacobi-Matrizen von f und g aus.
Wenn es so definiert ist als F(x) := f(x)g(x)
Dann würde sich ja folgendes ergeben, oder?
[mm] \pmat{\bruch{\partial f}{\partial x_1},\bruch{\partial f}{\partial x_2},\ldots,\bruch{\partial f}{\partial x_n}}\ [/mm] * [mm] \pmat{\bruch{\partial g}{\partial x_1},\bruch{\partial g}{\partial x_2},\ldots,\bruch{\partial g}{\partial x_n}}\ [/mm]
Also langsam verzweifel ich an dieser Aufgabe
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:44 Fr 04.06.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Davin,
> Hier die genaue Aufgabe:
> Aufgabe 2: Seien f : Rn -> Rm und g : Rn -> Rm stetig
> differenzierbar.
Das m hast du aber vorher verschwiegen, damit ändert sich alles, denn jetzt macht es Sinn.
$f: [mm] \IR^n\to\IR^m$
[/mm]
$g: [mm] \IR^n\to\IR^m$
[/mm]
Die Abbildung $f$ (und g natürlich auch) kann man dann mittels Komponenten-Abbildungen darstellen:
$f: [mm] x\mapsto(f_1(x),\ldots,f_m(x))$
[/mm]
> (a) Druecken Sie die Jacobi-Matrix der Abbildung F : Rn ->
> R mit
Genau, es ist dann $F: [mm] \IR^n\to\IR$
[/mm]
> F(x) := <f(x); g(x)> durch die Jacobi-Matrizen von f und g
> aus.
Beachte im folgenden, dass $x$ ein n-dimensionaler Vektor ist: [mm] $x=(x_1,\ldots,x_n)$.
[/mm]
Die Jacobi-Matrizen sind dann [mm] $m\times [/mm] n$-Matrizen, wie ich vorhin ja auch kurz angemerkt hatte:
[mm] $\pmat{\bruch{\partial f_1}{\partial x_1} & \ldots & \bruch{\partial f_1}{\partial x_n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \bruch{\partial f_m}{\partial x_1} & \ldots & \bruch{\partial f_m}{\partial x_n}}$
[/mm]
Der "Wert" von f und g ist ja ein m-dimensionaler Vektor (wegen [mm] $\IR^n\to\IR^\red{m}$), [/mm] deswegen ist mit
$F(x):=<f(x); g(x)>$
das Standardskalarprodukt der beiden gemeint:
[mm] $F(x):=\left\langle f(x),g(x)\right\rangle [/mm] = [mm] \vektor{f_1(x)\\\vdots\\f_m(x)}\*\vektor{g_1(x)\\\vdots\\g_m(x)}=f_1(x)*g_1(x)+\ldots+f_m(x)*g_m(x)$
[/mm]
Jetzt stelle doch mal die Jacobi-Matrix von f, g und F explizit auf und versuche, die Jacobi-Matrix von F durch die J-Matrix von f und g darzustellen.
Das ist nun deine Aufgabe
> Wenn es so definiert ist als F(x) := f(x)g(x)
> Dann würde sich ja folgendes ergeben, oder?
> [mm]\pmat{\bruch{\partial f}{\partial x_1},\bruch{\partial f}{\partial x_2},\ldots,\bruch{\partial f}{\partial x_n}}\[/mm]
> * [mm]\pmat{\bruch{\partial g}{\partial x_1},\bruch{\partial g}{\partial x_2},\ldots,\bruch{\partial g}{\partial x_n}}\[/mm]
Das hat sich ja nun erledigt, siehe oben.
> Also langsam verzweifel ich an dieser Aufgabe
Nicht verzweifeln, wir stehen dir bei
Versuch's doch noch mal, und melde dich bei Problemen einfach nochmal.
Viel Erfolg,
Marc
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