Jacobi-Matrix < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:16 So 20.06.2004 | | Autor: | Harry |
Hallo!
Ich soll die Jacobi-Matrix und die Funktionaldeterminante der folgenden Abbildung (Transformation auf 3-dimensionale Kugelkoordinaten) berechnen:
[mm]\Phi: \; \; \IR^3 \, \rightarrow \, \IR^3\\(r, \theta, \varphi) \, \mapsto \, (r \sin{\theta} \, \cos{\varphi}, r \sin{\theta} \sin{\varphi}, r \cos{\theta})[/mm]
hab aber leider keine Ahnung, wie das funktioniert. Kann mir da jemand weiterhelfen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:14 So 20.06.2004 | | Autor: | Matti |
Hallo Harry,
ich soll das zufällig auch gerade machen. Nach der Definition, die ich kenne, enthält die Jacobi-Matrix von [mm] $\Phi$ [/mm] die partiellen Ableitungen jeder Komponentenfunktion von [mm] $\Phi$ [/mm] nach jeder Variablen. Ist also [mm] $J_\Phi(r, \theta, \varphi)$ [/mm] die gesuchte Jacobi-Matrix, so ist der Eintrag [mm] $(J_\Phi(r, \theta, \varphi))_{ij}$, [/mm] also Zeile $i$, Spalte $j$ die partielle Ableitung der $i$-ten Komponentenfunktion nach der $j$-ten Variablen, also hier z. B. [mm] $(J_\Phi(r, \theta, \varphi))_{11} [/mm] = [mm] \frac{\partial}{\partial r} [/mm] (r [mm] \sin \theta \cos \varphi)$ [/mm] (1. Komponente, 1. Variable).
Eine solche partielle Ableitung berechnest du, indem du nur diejenige Variable, nach der du ableiten willst, als veränderlich betrachtest und alle übrigen Variablen als Konstanten ansiehst, z. B. [mm] $\frac{\partial}{\partial x} (xy^2) [/mm] = [mm] y^2$ [/mm] und [mm] $\frac{\partial}{\partial y}(xy^2) [/mm] = 2xy$.
Die Funktionaldeterminante ist dann einfach die Determinante der Jacobi-Matrix (diese heißt auch Funktionalmatrix).
So sollte man es eigentlich hinbekommen. Wenn nicht, frag nochmal nach.
Gruß,
Matthias.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:23 So 20.06.2004 | | Autor: | Harry |
Ich wusste gar nicht, wie die Aufgabe zu lesen ist (die ganzen griechischen Buchstaben haben mich irgendwie vom wesentlichen abgelenkt), aber nach deiner Antwort ist mir jetzt alles klar. Vielen Dank!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:20 So 20.06.2004 | | Autor: | Harry |
(Hat sich erledit)
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